Algoritmu teorija “Fraktāļi”

Rēzeknes Augstskola
Inženieru fakultāte
Datorzinātņu un matemātikas katedra

ALGORITMU TEORIJA

Referāts

Fraktāļi

**********
*********
2. līmeņa profesionālās augstākās
izglītības bakalaura studiju programmas
**********
*************
************

…………………………………………
(paraksts)

Docētājs
lektors *******. ______________ ********

Rēzekne
2007

Saturs

Ievads 3
1.Vēsture 4
2.Fraktāļi dabā 6
3.Fraktāļu praktiskais pielietojums 7
4.Fraktāļu klasifikācija 8
4.1.Algebriskie fraktāļi 8
4.1.1.Mandelbrota tīkls 9
4.1.2.Jūlija tīkls 9
4.1.3.Biomorfi 10
4.2.Ģeometriskie fraktāļi 10
4.2.1.Lauvas līkne 10
4.2.2.Binārais koks 11
4.2.3.Koha līkne 11
4.2.4.Minskovska līkne 12
4.2.5.Gilberta līkne 13
4.2.6.Pifagona koks 14
4.3.Stohastiskie fraktāļi 15
4.3.1.Randomizēts fraktālis 15
4.3.2.Braunovska daļiņa 15

Ievads

Teorijas pamati zinātnes attīstībā par fraktāļiem ir sākuši attīstīties pavisam nesen, bet jau līdz mūsdienām pateicoties fraktāļiem ir radušās vairākas praktiski dzīvē nepieciešamas nozares, kā, piemēram, fraktāļu ģeometrija, attēlu saspiešana, fraktāļu māksla un daudzas citas nozares. Fraktāļi pārstāv nelineāro dinamiku fāžu telpā. Tāpēc fraktāļa struktūra pārstāv gan haotisku procesu, gan stabilu režīmu. Uzmanība fraktāļiem tika pievērsta to interesantās formas, savdabīgo īpašību un konstruēšanas metodes dēļ, kuras pamatā ir ļoti liels iterāciju atkārtošanās skaits. Viena no interesantākajām īpašībām ir tā, ka fraktālis spēj būt sīkumains, tādēļ fraktāļu visneparastākā īpašība – pašlīdzība – atspoguļo, ka fraktāļi sastāv no tāda paša veida un struktūras objektiem, kā pats fraktālis kopumā, tādēļ informāciju par fraktāli var iegūt izpētot pavisam sīku tā sastāvošu daļiņu. Vēl viena no interesantākajām fraktāļiem piemītošajām īpašībām ir tā, ka fraktāļa dimensija plaknē var būt daļskaitlis un nevis vesels skaitlis, kā esam pieraduši.

1.Vēsture

Benua Mandelbrots ir zinātnieks, kurš pirmais ieviesa fraktāļu ģeometriju un uzkonstruēja fraktāli, kuru nosauca zinātnieka vārdā.
Benua Mandelbrota visas pētnieciskās intereses un dzīves gaita ir saistīta ar fraktāļu ģeometriju. Viņš bija pirmais, kurš atklāja fraktāļus. Mūsdienās, pateicoties Benua Mandelbrotam ir iespēja izveidot objektus, kuri ir pārsteidzoši līdzīgi dabā esošajiem. Mandelbrota nopelns ir ne tikai attēlu konstruēšana ar fraktāļu palīdzību, jaunatklātajai teorijai ir daudz vairāk pielietojumu. To izmato gan matemātikā, gan fizikā, gan ekonomikā, gan datorgrafikā, kā arī citās daudzās jomās un sfērās.
Benua Mandelbrots izveidoja pavisam jaunu ģeometrijas teorēmu. Pie jaunas ģeometrijas Mandelbrots sāka strādāt 20.gadsimta 70-tajos gados. Viņš arī ir vārda “fraktālis” radītājs. Pētot un radot fraktāļus, Mandelbrots strādāja IBM Pētniecības laboratorijā ar lieljaudas datoriem un viens no pirmajiem apzinājās datoru neierobežotās iespējas matemātisko procesu attēlošanā. Fraktāļu ģeometrijā attēlošana ir ļoti būtiska, jo analītiskās izteiksmes tiek aizstātas ar vizuālu fraktāļa attēlu, ko pēta to palielinot un samazinot. Mandelbrots veica visdažādākos pētījumus un eksperimentus, liekot lietā gan lēcas un okulārus, mainot to stāvokli un pētot fraktāļa neierobežotās pārmaiņas, uzbūvi un savdabīgās īpašības, līdz nonāca līdz pārsteidzošiem secinājumiem.
Mandelbrots kļuvis slavens ar savu “Mandelbrota tīklu”, jeb Mandelbrota fraktāli. Mandelbrota tīkls ir ar programmēšanas valodu palīdzību ģenerēts fraktālis, kurā var novērot fraktāļu visspilgtāko īpašību – pašlīdzību. Tā pamatā ir iterācijas jeb daudzkārtējas atkārtošanas metode, vadoties pēc noteiktas matemātiskas formulas. Šo metodi izstrādāja G. Džulia un P. Fato, bet ar datora palīdzību attīstīja un modelēja B. Mandelbrots. Tīkls sastāv no daudziem maziem tīkliņiem, kurus sauc par Džūlija tīkliem. Džūlija tīklu raksturo nemitīga formu atkārtošanās, iedziļinoties objektā arvien dziļāk. Jo vairāk pietuvojas haotiskajām robežlīnijām, jo vairāk tas pašattēlo sevi un rada īpatnēju skaistumu. Sākuma formula, ar kura palīdzību iegūst Džulias un vēl daudz komplicētākos Mandelbrota tīklus, ir ļoti vienkārša:

kur Z – komplekss manīgais ; c – konstants parametrs. Formulā Z ir komplekss mainīgais, ar kuru veic n iterācijas. Neviens līdz Džuliam un Mandelbrotam pat iedomāties nevarēja, kādu apbrīnojamu skaistuma pasauli atvērs iterācijas pamatprincips.
Vēl joprojām tieša, precīza fraktāļa definīcija neeksistē. Latviešu terminu vārdnīcā fraktālis definējas – attēlā ietverta ģeometriska figūra (kontūra), kas precīzi saglabā savu apveidu neatkarīgi no tā, kā tiek palielināts vai samazināts pats attēls (piemēram, krasta līnija, mākonis, koks u. c.). Daudz vieglāk fraktāli ir aprakstīt nekā dot definīciju. Atslēgvārds, kurš raksturo fraktāli, ir pašlīdzība. Pateicoties šai spilgtākajai īpašībai, fraktāli ir iespējams noteikt kā ģeometrisku figūru, kurā viens un tas pats fragments pie katra soļa, samazinot mērogu, atkārtojas.
Fraktāļi, kuriem piemīt pašlīdzība, un kuri ir iegūti parastu rekursīvu procedūru rezultātā (lineāru pārveidojumu kombinācijās), tiek saukti par konstruktīvajiem fraktāļiem. Tādā veidā, konstruktīvie fraktāļi- tas ir tīkls, kurš ir iegūts līdzīgu lineāru (affinisku) saspiestu attēlu rezultātā. Rezultējošo saspiesto attēlu kopums tiek raksturots kā pastāvīgu “punktu” – fraktāli. Acīmredzams, ka Mandelbrota fraktālis un Koha līkne ir dažādu tipu fraktāļi. Bet tiem kopīga ir tikai rekursīva ģenerācijas procedūra. Tāpēc fraktāļi tiek izdalīti noteiktās klasēs. Vispārpieņemtajā fraktāļu klasifikācijā fraktāļi iedalās: ģeometriskajos, algebriskajos un stohastiskajos.
Fraktāļi dod iespēju aprakstīt un attēlot dabā esošus objektus. Mūsdienās ar fraktāļu palīdzību ir iespējams attēlot gandrīz jebkuru objektu dabā. Svarīgi ir tikai atrast īsto formulu un iterācijas procesa metodi.

2.Fraktāļi dabā

Fraktāļi pārsteidz jebkuru cilvēku ar tā līdzību dabai. Šī īpašība ir viena no spilgtākajām un tieši šī savdabīgā īpašība tiek uzskatīta par visvienkāršāko, ar kuras palīdzību var attēlot fraktāļu esamību un pierādīt cik viegli var attēlot dabā esošās sarežģītās formas.
Fraktāļi ir sastopami pilnīgi un absolūti jebkur. Tāpat kā dabas parādības, tāpat arī fraktāļi spēj parādīties savā daudzveidībā, krāšņumā un atklāt savu skaistumu. Fraktāļi ir sastopami gan mākslā, gan medicīnā, gan mehānikā, gan elektronikā, gan bioloģijā, dabā, t.i. it visur. Kā jau tika pieminēts, ka it visur , kur var saskatīt fraktāļu struktūru, šos objektus var ar diezgan vienkārša algoritma palīdzību attēlot kā fraktāļus.
Viens no piemēriem var būt cilvēka asinsrite ķermenī. Asinsritē fraktāļi parāda pašlīdzības īpašību. Lielākie asinsvadi ir līdzīgi mazākajiem, kuri atzarojas no lielākajiem. Cilvēka smadzenes darbojas ļoti lielā ātrumā. Un pats īpatnākais ir tas, ka tās darbojas haotiski, tāpat kā to dara fraktāļi.
Ir tik daudz piemēru, kur varētu attēlot fraktāļu haotisko īpašību. Viens no spilgtākajiem piemēriem, ar kuru ir sastapies gandrīz jebkurš cilvēks, ir infekciju slimības, kā piemēram, herpesa vīrusi, kuras izplatās nezināmā virzienā (haotiski) pa pieejamo telpu. Vēzis ir līdzīgs piemērs.
Ar fraktāļu palīdzību ir iespējams demonstrēt nepārspējamu līdzību dabai. Visbiežāk rādītais fraktāļu līdzības piemērs ar dabu ir papardes auga uzbūve, kurā var pamanīt tās pašatkārtošanās, sīkumainību un sarežģīto uzbūvi.
Piemērs ar papardi nav vienīgais, kurš spēj parādīt fraktāļu haotisko struktūru un lauztās līnijas. Tikpat līdzīgs fraktāļiem ir arī zibens, ogles struktūra, mākoņi, saplaisākošas zemes attēls, kā arī citi objekti.
Tātad fraktāļi ir sastopami gandrīz jebkur dabā un gandrīz jebkuru dabā esošu reālu objektu ir iespējams attēlot ar fraktāļu palīdzību, un to vislabāk ir izdarīt tāpēc, ka fraktāļiem piemīt tādā veida īpašības kā dabā sastopamajiem objektiem.

3.Fraktāļu praktiskais pielietojums

Fraktāļu praktiskais pielietojums ir atrodams gandrīz jebkur, ar to palīdzību ir iespējams veidot mākslas darbus, pētīt dažādas sistēmas mehānikā, bioloģijā un citās zinātnēs, kā arī pielietot jaunu tehnoloģiju izgudrošanā.
Vislielākais ieguvums, pateicoties fraktāļiem, ir tā izmantošana datorgrafikā. Tā iegūtas ilustrācijas ir pārsteidzoši skaistas un līdzīgas dabā esošajiem objektiem. Uzzīmēt jūras bangojošos viļņus, puķes smalkos ziedus vai zibeni ir diezgan grūti, bet pateicoties fraktāļiem, to izdarīt ir ļoti vienkārši. Fraktāļu skaistais vizuālais izskats tiek pielietots ne tikai vienkāršu ilustrāciju veidošanā, bet arī filmu, datorspēļu veidošanā.
Ar fraktāļu palīdzību ir iespējams veiksmīgi aprakstīt vairākus procesus mehānikā, kas attiecas uz šķidrumu un gāzi, tādus, kā, piemēram, : dinamika un sarežģītu plūsmu turbulācija; lLiesmu modelēšana; porainu metālu, vielu pētīšana – tajā skaitā naftas ķīmijā. Ar fraktāļu palīdzību ir iespējams aprakstīt procesus arī bioloģijā: populācijas modelēšanu; biosensoru mijiedarbību; procesus organismā, kā, piemēram, sirds darbība. Atklātā fraktāļu teorēma ir manāmi izmainījusi daudzus matemātiķu uzskatus, mūsdienu matemātika ir ieguvusi jaunu zinātnes nozari.
Pats vienkāršākais veids, kur fraktāļus var izmantot, ir to interesanto izskatu izmantot dažādu ikdienas priekšmetu apgleznošanā, kā, piemēram apģērbi un daudzās citās lietās. Mūsdienās ir attīstījusies jauna mākslas nozare – fraktāļu māksla. Ir pieejams milzīgs apjoms ar dažādu mākslinieku idejām un fraktāļu ilustrācijām.
Fraktāļus izmanto arī kā ekrāna saudzētājus datoros un mobilajos telefonos.
Tā kā fraktāļu nozīme un attīstība aug, tā pielietošana ir atklāta visdažādākajās nozarēs. Fraktāļi pielietojams ir ne tikai redzams. Daudzas tehnoloģijas darbojas, bāzējoties uz fraktāļu savdabīgākajām īpašībām un eksistences pamatprincipiem. Kā, piemēram, datu arhivācija (mūzikas, filmu diski utt.). Tā zemteksts balstās uz fraktāļu savdabīgāko īpašību – pašlīdzību. Fraktāļu ilustrācijas saspiešana mūsdienās ir viens no efektīvākajiem datu saspiešanas veidiem. Saspiešana notiek ātri vai lēnāk, skatoties kāda veida algoritmu izmanto. Nelielas kvalitātes zaudēšanas saspiešanas veidā ir pat iespējams uzdot saspiešanas pakāpi.

4.Fraktāļu klasifikācija

Fraktāļi iedalās vairākās grupās. Jūlija tīkls ar Minkovska līkni ir no dažādu fraktāļu grupas, bet tiem ir viena līdzīga īpašība – to konstruēšanai tiek izmantota rekursīva ģenerāciju iterāciju procedūra. Fraktāļi ir gan ar formulas palīdzību veidoti, gan ģeometriskā veidā konstruēti. Jebkura indivīda veidotie fraktāļi tiek saukti par modelējamajiem, bet dabiskajā vidē pieejamos fraktāļus sauc par reālajiem. Katrai no fraktāļu grupām ir sava veida konstruēšanas pamatprincips un īpašības.
Fraktāļi tiek izdalīti dabiskajos (fiziskie) un modelējamos (abstraktajos) fraktāļos.

4.1.attēls. Fraktāļu sadalījums.
Dabisko fraktāļu piemēri ir: koku sazarojums, ledus un sniegpārslu struktūra utt.
Modelējamie fraktāļi iedalās vairākās grupās, no kurām lielākā fraktāļu saturošā grupa ir algebriskie fraktāļi, tad ģeometriskie fraktāļi un stohastiskie un atraktori.

4.2.attēls. Modelējamo fraktāļu sadalījums.

4.1.Algebriskie fraktāļi
Vislielākā no fraktāļu grupām ir algebriskie fraktāļi. Šo nosaukumu šīs grupas fraktāļi ir ieguvuši tādēļ, ka tiek veidoti no algebriskajiem vienādojumiem. Algebriskās grupas fraktāļus ir iespējams iegūt n dimensiju nelineāru procedūru rezultātā. Visvairāk pētīti ir divdimensiju procesi. Interpretējot nelineāru procesu, kā diskrētu dinamisku sistēmu, ies iespējams izmantot šādu sistēmu terminoloģijā: fāzes portrets, attraktors utt.
Ir zināms, ka nelineārām dinamiskām sistēmām piemīt daži stabili režīmi. Tas stāvoklis, kuru sasniedza dinamiska sistēma, pēc kāda iterācijas skaitļa, ir atkarīga no tās sākuma stāvokļa. Tāpēc katram stabilajam režīmam (vai kā tas vēl tiek dēvēts -attraktoram), piemīt dažādu apgabalu sākuma stāvokļi, no kuriem sistēma noteikti nokļūs pārskatāmā beigu stāvoklī. Tādā veidā sistēmas fāzes telpa sadalās attraktora pievilkšanās apgabalos. Ja fāzes telpa ir divdimensiju, tad iekrāsojot pievilkšanās apgabalus atšķirīgās krāsās, ir iespējams iegūt šīs sistēmas (iterācijas procesa) krāsainu fāzes portretu. Mainot krāsas izvēles algoritmu, ir iespējams iegūt sarežģītus fraktāļa attēlus ar dīvainiem daudzkrāsainiem zīmējumiem. Negaidīti matemātiķiem kļuva iespējams ar primitīviem algoritmiem konstruēt ļoti sarežģītas netriviālas struktūras.
4.1.1.Mandelbrota tīkls
Kā piemēru apskatīsim Mandelbrota tīklu. Mandelbrota tīkla konstruēšanas algoritms ir diezgan vienkāršs un tiek bāzēts uz vienkāršiem iterācijas soļiem :

kur Zi un C – kompleksie skaitļi. Iterācijas process turpinās tik ilgi, kamēr Z[i] neizies no apgabala robežas- rādiusa 2, centrs atrodas punktā [0,0] (tas nozīmē , ka dinamiskās sistēmas attraktors atrodas bezgalībā), vai arī pēc diezgan liela iterācijas skaitļa (piemēram, 200-500) Z[i] sastapsies ar kādu apvidus punktu. Atkarībā no iterāciju skaita, kuras norisē Z[i] paliek robežās, ir iespējams noteikt C punkta krāsu (ja Z[i] paliek robežās pie lieliem iterācijas skaitļiem, iterācijas process tiek apstādināts un dotais punkts tiek iekrāsots melnā krāsā).
4.1.2.Jūlija tīkls
Jūlija tīkls atšķirībā no Mandelbrota tīkla , fiksējas mainīgie un , savukārt mainās vērtības un . Lai arīt to nevar ilustrācijā redzēt, patiesībā, Mandelbrota fraktālis ir Jūlija tīklu kopums, kuri savienoti kopā. Katrs Mandelbrota tīkla punkts (vai koordināta) atbilst Jūlija fraktālim ne ģeometriskā, bet matemātiskā vidē.
4.1.3.Biomorfi
Daži fraktāļa attēli ir ļoti līdzīgi šūnas organismiem. Biomorfi patiesībā ir saīsināti vai arī pretēji paplašināti Jūlija tīkli. Piemēram, iezīmīgi biomorfi tiek iegūti pēc sekojošām funkcijām:

4.2.Ģeometriskie fraktāļi
Fraktāļi no ģeometriskās grupas ir vispārskatāmākie. Visos mērogos tieši šī fraktāļu grupa demonstrē visciešāko pašlīdzību. Kā piemērs varētu būt Serpinskova trijstūris, Koha sniegpārsliņa, Lauvas līknes un daudzi citi.
Divdimensiju (vai arī trīsdimensiju) gadījumā, ģeometriskos fraktāļus, ir iespējams iegūt ar lauztām līnijām, kuras tiek sauktas par ģeneratoru. Pēc katra algoritma soļa viens no posmiem, attiecīgajā mērogā, tiek aizvietots ar lauztu līniju. Bezgalīgas atkārtošanās rezultātā tiek iegūts fraktālis.

4.2.1.Lauvas līkne
Lauvas līkni izgudroja franču zinātnieks Toms Levijs (1886-1971). Viņš bija viens no pirmajiem, kurš pētīja fraktāļu līknes. Lauvas līkni ir iespējams iegūt, ja paņem pusi no kvadrāta / , un pēc tam katru pusi aizvietot ar tādu pašu fragmentu, un šo procedūru, kamēr tiek iegūta Lauvas līkne:

4.2.1.1.attēls. Lauvas līknes konstruēšana.

4.2.1.2.attēls. Lauvas līkne.

4.2.2.Binārais koks
Spilgts piemērs konstruktīvajiem fraktāļiem ir binārais koks. Tas tiek konstruēts pēc sekojoša principa: katrā līmenī vertikālā līnija tiek sadalīta divās daļās. Šāda veida sazaroti fraktāļi tiek saukti par dendrītiem (no grieķu val. „dendron” – koks). Skatoties uz šāda veida fraktāli, uzreiz var pamanīt pašlīdzības īpašību, jo katrs atzarojums būtībā ir līdzīgs veselajam fraktālim.

4.2.2.1.attēls. Binārais koks.

4.2.3.Koha līkne
Šī līkne tika izgudrota 1904. Gadā, pateicoties Šveices matemātiķim Helge fon Koham (Helge von Koch, dzimis 1870 – 1924), kurš pētot Karla Veierštrassa un Georga Kantora darbus, uzdūrās uz dažu savādu līkņu aprakstiem ar interesantu uzvedību. Koha līkne ir savdabīga ar to, ka tajā nevienā momentā nav pieskaru, t.i. tā nekur nav diferencēta, kaut arī visur ir nepārtraukta. Tādas „dekadentiskas” funkcijas tika konstruētas Veierštassa pavadībā tikai tāda iemesla dēļ, lai parādītu savu skeptisko nostāju kolēģiem,- ka tāds funkcijas (nepārtrauktas un nediferencējamas) patiešām eksistē. Tomēr citi matemātiķi šajās funkcijās saskatīja pavisam citu jēgu. Piemēram, Bolcmans 1898. gadā rakstīja, ka nediferencējamas funkcijas var būt izgudrotas pateicoties fiziķiem, tā kā statiskajai mehānikai piemīt problēmas, kuras var atrisināt ar nediferencētu funkciju palīdzību. Žans Perrens pētīja tālāk un 1906. gadā priekšnojauta, ka attiecībā uz tāda veida matemātiskajiem „monstriem”, tika paziņots, ka „līknes”, kurām nepiemīt pieskares, tiek definētas ar kopīgiem likumiem.
Koha līkne tiek uzskatīta par tipisku determinēto fraktāli. Koha līknei piemīt bezgalīgs garums. Tā sastāv no četrām vienādām daļām, katra no tām līdzīga visam fraktālim kopumā. Nevienā momentā līkne nešķērso pati sevi.

4.2.3.1.attēls. Koha līkne.
Izpētīsim fraktāļa objektu (Koha līkni) tuvāk. Zemāk pievienotajā attēlā ir redzama Koha līknes konstruēšana piecās iterācijās. Līknes konstruēšana sākas ar gabalu 1– tas ir Koha līknes pirmā paaudze (n=0 – nulltais). Tālāk katrs posms (nulles gadījumā tas ir viens gabals) tiek aizvietots ar veidojošo elementu posms, kur n=1. Šāda veida aizvietošanas rezultātā, tiek radīts Koha līknes nākošais paaudzes elements. Pirmajā paaudzē – tā ir līkne, kura sastāv no četriem taisnvirziena posmiem, katras garums 1/3. Lai iegūtu trešo paaudzi, tiek pildīta tieši tā pati procedūra – katrs mazāk lauztais posms, tiek aizvietots ar iepriekšējā procedūrā iegūto paaudzi . Un lūk, lai iegūt katru nākošo paaudzi , visi posmi no iepriekšējās paaudzes tiek aizvietoti mazāk sašķeltajā apgabalā. Līkne n- tajā paaudzē, pie jebkura beigu n tiek saukts par pirmfraktāli.Ja n tiecas uz bezgalību, tad Koha līkne kļūst par fraktālisku objektu.
4.2.4.Minskovska līkne
Šī fraktāļa autors it Germans Minskovskijs, zināms matemātiķis. Iniciators ir taisnas līknes gabaliņs, savukārt ģeneratoram ir diezgan sarežģīta struktūra, kura sastāv no astoņiem gabaliņiem. Fraktāļa dimensija Minskovska līknei D=ln4/ln8=1.5.

4.2.4.1.attēls. Minkovska līkne.
Pirmie soļi konstruējot Minkovska līkni:

4.2.4.2.attēls. Minkovska līknes konstruēšana.

4.2.5.Gilberta līkne
1980.gadā Džuzeppe Peano atklāja līkni ar savdabīgu īpašību „aizpildītu telpu”. Dotā veida līkne ir aizpilda kvadrātu un izejot caur katru tā punktu vismaz reizi. Peano līkne konstruēšana pamatojas uz kvadrāta katras malas sadalīšanu trīs vienādās daļās, kuras savukārt dala to deviņos mazākos kvadrātos. Līkne iziet caur šiem deviņiem kvadrātiem noteiktā kārtībā. Tad katrs no deviņiem mazajiem kvadrātiem analoģiski dalās deviņas daļās un līkne modificējas tādā veidā, lai apietu visas daļas noteiktā kārtībā.

4.2.5.1.attēls. Gilberta līkne.
4.2.6.Pifagona koks
Pifagons pierādīja savu slaveno teorēmu, uzkonstruēja figūru, kurā uz taisnleņķa trijstūra malām ir uzkonstruēti kvadrāti. Mūsdienās šī figūra ir „izaugusi” par veselu koku. Pirmo Pifagona koku uzkonstruēja A.E.Bosmans (1891-1961) Otrā kara laikā, izmantojot parastu lineālu.

4.2.6.1.attēls. Pifagona koks.
Viena no Pifagona koka īpašībām ir tā, ka, ja pirmā kvadrāta plakne vienāda ar 1, tad katrā līmenī kvadrāta plakne arī būs vienāda ar 1. Atzīmēsim, ka, ja Pifagona koks ir varietēts binārais koks.
Ja klasiskajā kokā leņķis ir vienāds ar 45 grādiem, tad kā vispārinātajā Pifagona kokā ir iespējams konstruēt tā saucamo „ar vēju appūsto” Pifagona koku.

4.2.6.2.attēls. „Vēja pūsts” Pifagona koks.
Šī koka interesanta īpašība ir tā, ka zarus attēlo logaritmēta spirāle. Tādā veidā ir iespējams vienkāršot Pifagona koku un konstruēt nevis kvadrātus, bet tikai gabaliņus, kuru savieno trijstūra centrus. Paši trijstūri netiek zīmēti. Tādu fraktāli turpmāk tiks saukts par Pifagona koka atsegšanu.

4.2.6.3.attēls. Pifagona koka atsegšana.
Datorgrafikā tiek izmantoti ģeometriskie fraktāļi, lai varētu veiksmīgi attēlot kokus, krūmus, krasta līnijas, zibeni utt.

4.3.Stohastiskie fraktāļi
Pēdējā no fraktāļu klasēm ir stohastiskie fraktāļi, kuri tiek iegūti, ja izmanto gadījuma skaitļu ģeneratorus. Šādā veidā objekti ir ļoti līdzīgi dabā esošajiem objektiem- nesimetriskiem kokiem, izrobotām krasta līnijām utt. Divdimensiju stohastiskie fraktāļi tiek izmantoti apvidus reljefa modelēšanā un jūras virsmas modelēšanā.

4.3.1.Randomizēts fraktālis
Randomizētu fraktāli konstruē pēc vienkārša algoritma, tikai pēc katras iterācijas izskaitļošanas tiek pielikts kāds nejauši izvēlēts skaitlis.

4.3.2.Braunovska daļiņa
1828.gadā skotu biologs Roberts Brauns atklāja neparastu parādību. Kad viņš skatījās mikroskopā uz krāsainu ziedputekšņu suspensiju ūdenī, biologs bija pārsteigts ar atklāto faktu – daļiņas nepārtraukti pārvietojās, parādot brīnumainas trajektorijas. Šī nekārtīgā suspensiju daļiņu kustība šķidrumā tika nosaukta par braunovska kustību.

4.3.2.1.attēls. Braunovska daļiņa.
Šis fenomens tika izskaidrots daudz vēlāk, pagājušā gadsimta sākumā, kad modās kvantu mehānika un statiskā fizika. Molekulas šķidrums rada termisku neregulāru kustību, kura kļūst par daudz stiprāku, kad temperatūra tiek paaugstināta. Molekulas savstarpēji atduroties ar daudz lielākām daļiņām, liek mainīt kustības virzienu. Pirmās braunovska daļiņu kustības likumsakarības teorijas autors bija Alberts Einšteins. Braunovska līkni var pieskaitīt pie fraktāļu līknēm.