Latvijas universitâtes Fizikas un matemâtikas fakultâtes datorzinâtòu nodaïas 2.kursa students Aleksandrs Karpovs.
Laboratorijas darbs Nr.1.
(priekðmetâ Skaitliskâs metodes I.)
15.12.96.
Darba uzdevums:
Ar divu daþâdu skaitlisko metoþu palîdzîbu atrast izteiksmes saknes .
Teorçtiskais pamatojums:
Saka, ka funkcija ir nepârtraukta punktâ , ja ðis punkts pieder pie funkcijas definîcijas apgabala, un bezgalîgi mazam argumenta x pieaugumam atbilst bezgalîgi mazs funkcijas pieaugums , t.i. (zîm. 1) .
zîm. 1
Funkciju sauc par nepârtrauktu intervâlâ [a;b], ja tâ ir nepârtraukta visos ðî intervâla punktos (zîm 1.) .
Ja funkcija ir nepârtraukta intervâlâ [a;b], un tâs vçrtîba galapunktos ir ar daþâdâm zîmçm, tad ðajâ intervâlâ ir vismaz viena funkcijas sakne (zîm. 2) .
zîm. 2
Taèu jâòem vçrâ, ka garantçjot sakòu eksistenci, nav pateikts cik to ir (zîm. 3) .
zîm. 3 .
Dihotomiskâ metode.
Dihotomiskâs metodes ideja ir sekojoða: tiek veidota viena otrâ ieliktu intervâlu [ ; ] virknîte. To gali veido monotonas virknes, viens no kuriem { } ( ) tuvojas kâdam punktam c no apakðas( c), otrs { } ( ) – no augðas ( c ). Ðo viena otrâ ielikto nogrieþòu , saturoðo sakni x=c, uzbûvçðanas process ïauj aptuveni atrast sakni x=c, ar jebkuru vajadzîgo precizitâti .
Pierâdîjums: Pieòemsim, ka funkcijas vçrtîba intervâla [a;b] kreisajâ pusç ir negatîva, bet labajâ – pozitîva , .
Òemsim intervâla [a;b] viduspunktu un izrçíinâsim tajâ funkcijas vçrtîbu.
Ja , tad teotçma ir pierâdîta: intervâlâ [a;b] atradâm punktu c= kurâ funkcija ir vienâda ar nulli.
Ja , tad apskatâm intervâlus [a; ] un [ ;b] un izvçlamies to, kurâ vçrtîbas abos intervâla galos ir ar daþâdâm zîmçm. Izvçlçto intervâlu apzîmçsim [ ; ]. Pçc uzbûves , . Tad òemam intervâla [ ; ] viduspunktu un izrçíinâm tajâ vçrtîbu.
Ja tad teorçma ir pierâdîta.
Ja tad atkal apskatâm itervâlu [ ; ] un [ ; ] un izvçlamies to, kura galapunktos vçrtîbas ir ar pretçjâm zîmçm. Izvçlçto intervâlu apzîmçsim ar [ ; ]. Pçc uzbûves , .
Tâ, turpinot procesu, vai nu n-tajâ solî tas beigsies, jo bûs vienâds ar nulli, vai arî turpinâsies neierobeþoti. Pirmajâ gadîjumâ problçma par saknes eksistenci ir atrisinâta, tâpçc apskatîsim otro gadîjumu.
Neierobeþota procesa turpinâðna dod intervâlu
[a;b],[ ; ],[ ; ], … virkni. Ðie intervâli ir ielikti viens otrâ, katrs nâkamais pieder visiem iepriekðçjiem :
(1)
pie kam un . Pieaugot n intervâlu garumi tiecas uz nulli : .
Apskatam kreisos intervâlu galus. Saskaòâ ar nosacîjumu (1) viòi veido nedilstoðu monotonu virkni { } . Tâdai virknei ir robeþa, kuru mçs apzîmçsim ar : . Saskaòâ ar (1) un teorçmu par robeþpâreju nevienâdîbâs, iegûstam .
Tagad apskatâm labos intervâla galus. Viòi veido ierobeþotu, neaugoðu, monotonu virkni { } , kurai arî ir robeþa. Apzîmçsim ðo robeþu ar : . Saskaòâ ar nevienâdîbu robeþas un apmierina nevienâdîbu . No tâ izriet un, attiecîgi, . Tâdâ veidâ starpîba ir mazâka par jebkuru pozitîvu skaitli, tas nozîmç, ka
, t.i. : .
Punkts c ir interesants ar to, ka tas ir vienîgais kopîgais punkts visiem uzbûvçtajiem virknes intervâliem. Izmantojot funkcijas nepârtrauktîbu, pierâdîsim, ka c ir funkcijas sakne.
Mçs zinâm, ka . Saskaòâ ar funkcijas nepârtrauktîbas nosacîjumu un robeþpârejas iespçju nevienâdîbâs, iegûstam:
= . Analoìiski, òemot vçrâ, ka , iegûstam: = . No tâ seko, ka , t.i. punkts c ir funkcijas sakne.
Òûtona metode (pieskaru metode).
Metodes ideja ir ïoti vienkârða: pieòemsim, ka funkcija , kurai ir sakne c intervâlâ [a;b], ir diferencçjama ðajâ intervâlâ, un tâs atvasinâjums tajâ nekïûst vienâds ar nulli. Òemsim brîvi izraudzîtu punktu un uzrakstîsim tajâ pieskares vienâdojumu funkcijas grafikam : . Funkcija un tâs pieskare pieskarðanâs punktâ ir ïoti lîdzîgas (zîm. 4) , tâpçc normâli ir gaidît, ka pieskares krustoðanâs punkts ar x asi bûs tuvs funkcijas saknei c .
zîm. 4
Punktu atrodam pçc formulas: . Turpinot ðo procesu iegûsim virkni { } , pçc formulas :
, n = 0,1,2, … (2) .
Pçtot ðo virkni rodas divi jautâjumi :
1) Vai skaitïu izrçíinâðanas process ir bezgalîgs, tas ir, vai skaitïi piederçs intervâlam [a;b] ?
2) Ja ðis process ir bezgalîgs, tad kâ uzvedîsies virkne { } pie ?
Ðo jautâjumu analîzei pieòemsim, ka sakne x=c ir intervâla [a;b] iekðçjais punkts ( a