Untitled
RĪGAS HANZAS VIDUSSKOLA
ZELTA GRIEZUMS
Pētnieciskais darbs
Autori:
Darba vadītājs:
Matemātikas skolotāja.
Rīga, 2010.
SATURS
SUMMARY
IEVADS
Jau kopš seniem laikiem cilvēki ir vēlējušies, lai viss izskatās proporcionāli, pat senās Ēģiptes piramīdas ir veidotas pēc zelta proporcijas. Dažas lietas vienkārši izskatās pareizi – vai nu tas ir mēbeļu izkārtojums istabā, vai dažādu līniju un figūru kompozīcijas, kas kopā veido gleznu. Kaut arī attēlus veidojošie līniju un formu raksti ir tikai divdimensionāli, tie ir ļoti svarīgi pat tiem māksliniekiem, kuri specializējas dziļuma izjūtas radīšanā. Laika gaitā mākslinieki ir ievērojuši, ka daži līniju un figūru izkārtojumi ir acij daudz tīkamāki nekā citi. Ir dažādas metodes, lai veidotu pareizas proporcijas priekšstats, viena no tām ir Fibonači skaitļu virkne. Zelta griezumu atspoguļojas augu, dzīvnieku pasaulē un pat cilvēka uzbūvē. Tas plaši sastopams ģeometrijā un mākslā. Uzskatām, ka zelta griezumu vajag vairāk popularizēt, jo liela daļa par to neko nezin un tas atvieglotu veidot proporcionālākas un skaistākas lietas.
Pētnieciskā darba mērķis : izpētīt, kā zelta griezums atspoguļojas dzīvajā, nedzīvajā dabā un arhitektūrā.
Pētnieciskā darba uzdevumi :
Uzzināt, kas ir zelta griezums.
Izpētīt zelta griezuma vēsturi.
Izpētīt zelta griezuma matemātisko skaidrojumu.
Izpētīt, kā zelta griezums atspoguļojas dzīvajā un nedzīvajā dabā.
Izpētīt zelta griezuma izmantošanu Rīgas jūgendstila arhitektūrā.
Pētīšanas metodes :
Literatūras analīze.
Foto attēlu mērīšana.
Hipotēze – zelta griezums ir plaši sastopams gan dzīvajā, gan nedzīvajā dabā un Rīgas jūgendstila arhitekrūrā.
HARMONIJAS JĒDZIENS
Kopš seniem laikiem cilvēks ir tiecies apveltīt sevi ar skaistām lietām. Jau seno cilvēku sadzīves priekšmeti, kuru nozīme varētu būt tikai dekoratīva, tika izmantoti kā sadzīves priekšmeti, kas liecina par to, ka cilvēki tiecās pēc skaistuma. Noteiktā cilvēka dzīves attīstības posmā, cilvēks sāka sev uzdot jautājumu, kāpēc viens vai otrs priekšmets tiek uzskatīts par skaistu, un kas vispār tiek uzskatīts par skaistumu? Jau senajā Grieķijā skaistuma būtības izprašana, lieliski noformējās par zinātnes nozari – estētiku, kura antīkajiem filozofiem bija neatdalāma no kosmoloģijas. Tad arī tapa uzskats par to, ka pamats skaistumam ir harmonija. [5.,93.lpp.]*
Skulptūras, dievnama gleznas, poēmas skaistums, kas starp tiem ir kopīgs? Vai tad var salīdzināt dievnamaun poēmas skaistumu? Izrādās, ka var, ja būs atrasti vienādi skaistuma kritēriji un formulas, apvienojot skaistuma jēdzienu dažādos objektos. Sākot no kumelītes skaistuma līdz cilvēka ķermeņa pievilcībai. [5]
Ir zināms jau ne mazums „skaistuma formulu.” Jau ļoti sen cilvēki savos veidojumos priekšroku dod pareizām ģeometriskām formām- kvadrātam, aplim, vienādsānu trīsstūrim, piramīdām un tā tālāk. Proporciju struktūras priekšroku dod veselu skaitļu attiecībām. No daudzajām proporcijām, kuras izmantojusi cilvēce veidojot harmoniskus veidojumus, pastāv viena un neatkārtojama proporcija ar vienkāršam īpašībām. Šo proporciju ir saukuši dažādi- „zelta griezums”, „dievišķā proporcija”, „zelta skaitlis”, „zelta vidus”, „zelta šķēlums”.
* Šajā un katrā nākamajā norādē pirmā atzīme atspoguļo literatūras avota vietu kopējā sarakstā, bet otrā – lappusi konkrētajā literatūrā.
PAR ZELTA GRIEZUMU
Veselais vienmēr sastāv no atsevišķām daļām, kuras ir dažāda izmēra, bet tajā pašā laikā – izmēri atrodas noteiktā attiecībā viens pret otru un pret veselo ķermeni. Zelta griezuma princips ir – augstākā veselā un tā daļu strukturālā un funkcionālā pilnības izpausme mākslā, zinātnē, tehnikā un dabā. [5]
Klasiskā glezniecība lielā mērā balstās uz nevainojama līdzsvara izveidi starp atsevišķām gleznas daļām un visu veselo – uzdevums, kas, protams, piesaistīja arī daudzu matemātiķu uzmanību. Zelta griezumu definēja renesanses matemātiķis Luka Pačoli, kurš apgalvoja ka tā ir „dievišķā attiecība”. Pačoli publicēja savas idejas traktātā „Divina proportione”, no kura esot ietekmējies pat Leonardo da Vinči. [2.,26.lpp.]
Zelta griezums ir matemātiska konstante, kas vienāda ar
Zelta griezums – tāds proporcionāls nogriežņa sadalījums dažādās daļās, kad viss nogrieznis tā attiecas pret lielāko daļu, kā lielākā daļa attiecas pret mazāko, jeb citiem vārdiem, mazākā daļa attiecas pret lielo tāpat, kā lielais pret pilno (1. Attēls). [2]
a:b=b:c vai c:b=b:a
Zelta proporcijas nogriežņi (1.attēls) ir izteikti ar bezgalīgo iracionālo daļskaitli 0,618…, ja c pieņem par vieninieku, a = 0,382… Skaitļi 0,618 un 0,312 ir Fibonači virknes koeficenti. Uz šīs proporcijas ir balstītas visas galvenās ģeometriskās figūras. [5]
1.att. Zelta proporcijas piemērs uz taisnes
Matemātikā zelta griezumu pieņemts apzīmēt ar Grieķu burtu fī (φ). Skaitlis φ ir algebrisks (tas ir sakne polinomam (funkcija, kas izsakāma kā viena vai vairāku skaitļu, mainīgo summa) ar veseliem koeficientiem) un iracionāls ( jebkurš reāls skaitlis, kas nav racionāls). [9.,191.lpp.]
Skaitlis 1,618034… (fī (φ)) ir nosaukts par Fibonači skaitli godinot grieķu antīkās celtniecības šedevra Atēnu Akropoles projekta māksliniecisko vadītāju, skulptoru Fīdiju, kurš savā darbā plaši lietoja zelta proporcijas. Ja skaitli 1 izdala ar 1,618034…, iegūst 0,618034… Savukārt skaitli 1 dalot ar 0,618034, iegūst 1,618034…. [5.,91.lpp.]
ZELTA GRIEZUMA VĒSTURE
Tiek uzskatīts, ka Pitagors (582.g. p.m.ē. – 496.g.p.m.ē), kurš bija sengrieķu matemātiķis un filozofs, jēdzienu zelta griezums ir ievadījis zinātnē. Pitagors esot šīs zināsšanas pārņēmis no ēģiptiešiem un babiloniešiem. Ir pierādīts, ka Heopsa piramīdas, tempļu, priekšmetu un rotaslietu proporcijas liecina par to, ka ēģiptiešu meistari izmantoja zelta proporcijas attiecību to veidošanā. [3]
Lekorbizjē (20. gs. Franču arhitekts) atklāja farona Seti I tempļa reljefa un faraona Ramzesa II skulptūras reljefa proporcijās ir iekļauti zelta griezuma lielumi.
Viens no Platona (472. g.p.m.ē. – 347. g.p.m.ē.) pierakstu dialogiem ir veltīts matemātiskiem un estētiskiem principiem , kurus mācīja Pitagors, arī par zelta griezumu.
Sengrieķu tempļa Partenona fasādē arī ir atrastas zelta proporcijas. Tempļa izrakumos tika atrasti cirkuļi, kurus izmantoja antīkās pasaules arhitekti un skulptori. Pompejas cirkulī (2.attēls), kurš atrodas Neapoles muzejā, arī tika izmantotas zelta griezuma zināšanas. [5]
2.att.Pompejas cirkulis
Šis ir viens no vecākajiem piemēriem, kas pierāda, ka cilvēki jau ļoti sen ir izmantojuši zelta griezumu.
Pirmā literatūra, kas saglabājusies līdz mūsu laikiem un vēsta par zelta griezumu ir Ekvilda „Sākumos”. Par ģeometrisko konstruēšanu zelta griezumam tiek demonstrēts otrajā grāmatā.Kā nākošie pēc Ekvilda pētīšanu pārņēma Gipsikls ( II gs. p. m. ē. ), Papps (III gs m. ē. ) un citi. Eiropā ar zelta griezumu iepazinās caur arābu tulkotām Ekvilda grāmatām. Tulkotājs Dž. Kampano no Navaras (III gs.) pievienoja darbam savus atzinumus un komentārus. Zelta griezuma teorija tika slēpta, par to zināja tikai izredzētie. [3]
Viduslaiku beigās un jauno laiku sākuma zinātnieku un mākslinieku vidū interese par zelta griezumu tikai pastiprinājās, jo to plaši varēja izmantot ģeometrijā, mākslā, bet it īpaši – arhitektūrā. [5]
Leonardo da Vinči (1452 – 1519) saprazdams, ka itāļu gleznotāju pieredze ir liela, bet zināšanas mazas, uzsāka rakstīt grāmatu par ģeometriju, bet tajā laikā parādījās mūka Luki Pačoli (1446 – 1517) grāmata, un da Vinči pārtrauca savas grāmatas rakstīšanu. Pēc mūsdienu pētnieku domām, Luka Pačoli ir bijis ģēnijs, labākais matemātiķis starp Fibonači un Galileo. Pačoli bija Pjero della Frančeski (1415 – 1492) māceklis, kurš uzrakstīja divas grāmatas, no kurām viena ir „Perspektīvā māksla”. [1][5]
Apzinādamies zinātnes svarīgumu mākslā, Luka Pačoli 1496. gadā saņēma hercoga uzaicinājumu un aizbrauca uz Milānu, kur strādāja par matemātikas lektoru. Milānā strādāja arī Leonardo da Vinči. 1509. gadā Venēcijā Pačoliizdod grāmatu „Dievišķā proporcija” ar skaisām ilustrācijām. Runā, ka tās veidojis da Vinči. Šajā grāmatā plaši slavina zelta proporciju. [1]
Da Vinči daudz laika veltīja zelta griezuma pētīšanai. Viņš veidoja stereometriska (telpiska) ķermeņa dalījumu, kurš tiktu izveidots no pareiziem piecstūriem. Katru reizi, veicot griezumu, Leonardo bija ieguvis taisnstūrus ar malu attiecību kā zelta griezumā, tāpēc tādam dalījumam viņš deva nosaukumu – zelta griezums. Šis nosaukums joprojām tiek izmantots kā populārākais šai proporcijai. [1]
Ap to pašu laiku Eiropas ziemeļos, Vācijā, Albrehts Dīrers (1471 – 1528) arī pētīja šīs pašas proporcijas īpašības. Pats viņš esot teicis: „Nepieciešams, lai tas, kas kaut ko māk, iemācītu to arī citiem, kuriem tas ir nepieciešams. Tāds ir mans mērķis.” Dīrers veidoja teorijas par cilvēka ķermeņa proporcijām. Svarīgu vietu savā attiecībā viņš deva zelta griezumam: cilvēka garums dalās zelta proporcijās ar jostas līniju, kā arī ar līniju, kas novilkta caur vidējā pirksta galu, nolaistās rokās, sejas lejas daļā dalās ar muti un tā tālāk. [5]
XIX gs. 1855. gadā profesors Ceizings (vācu zinātnieks) publicēja savu darbu „Estētiskā pētīšana”, un nosauca zelta griezumu par universālu visām dabas parādībām, kā arī mākslā.
MATEMĀTISKS PAMATOJUMS
Cilvēks, kurš uzskatāms par zelta griezuma mūsdienu matemātiskā pamatojuma pamatlicēju ir ievērojamais itāļu matemātiķis Fibonačī (1170-1240), kurš dzīvoja viduslaikos. Fibonačī īstajā vārdā bija Leonardo Pizāno. Viņa tēvs Bonači bija tirgotājs, kurš aktīvi darbojās kādā faktorijā Āfrikas ziemeļu piekrastē. Pateicoties šim apstāklim, viņam izdevās iekārtot dēlu arābu mācību iestādē, jo tur varēja iegūt tiem laikiem atbilstošu, ļoti labu matemātiķa izglītību. Atgriezies Pizā, kas bija viens no lielākajiem komercijas centriem, Leonardo sāka strādāt imperatora Frīdriha Holenštaufena galmā un ieguva iesauku, ko pats turpmāk lietoja – Fibonačī. [3][5]
Starp vairākām viņa grāmatām pati populārākā ir Liber abaci, kas piedzīvoja divus izdevumus – 1202. un 1228. gadā. Tajā ir plaša nodaļa, kas veltīta matemātikas attīstības perspektīvām. [5.,90.lpp.]
Fibonači mēģināja rast atbildi uz jautājumu: „Cik trušu pāru būs pēc gada, ja katram pārim piedzimst divi trušu mazuļi, kas pēc diviem mēnešiem arī paši kļūst auglīgi?” Fibonači zināja, ka no viena trušu pāra rodas vēl viens trušu pāris (1, 1) un ka pēc diviem mēnešiem divi trušu pāri radīs vēl divus pārus (1, 1, 2) utt. Visbeidzot tika izveidota skaitļu virkne, kurā katrs nākamais elements ir divu iepriekšējo summa : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 utt. Šo virkni sauc par Fibonači skaitļu virkni. [5.,90.lpp.][3]
Turpinot aprēķinus, Fibonači atklāja skaitļu rindu, kas pazīstama ar nosaukumu Fibonači sekvence. Skaitļu rinda ir šāda: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 …[5.,90.lpp.]
Lai iegūtu sekvences skaitļus, jāsaskaita divus iepriekšējos lielumus, un to summa veido nākamo rindas locekli, piemēram, 13 + 21 = 34 vai 34 + 21 = 55. Likumība izrādījās absolūti universāla, un Fibonači nopelnus, šo principu atklājot, ir grūti pārvērtēt. Ne velti viņudēvē par sava laika ievērojamāko matemātiķi. [3][5]
Pateicoties Fibonači teorijai, parādījās iespēja atrast likumsakarību dabā, arī cilvēka ķermenī, jo cilvēka ķermenis izveidots pēc zelta griezuma proporcijas. Daudzi atklājumi tikuši veikti senā pagātnē, taču tie raksturo pavisam mūsdienīgus procesus. Viss, kas notiek mums apkārt, ir saistīts ar matemātiku, un to var izskaidrot ar matemātiskām likumsakarībām. [3][5]
Fibonači sekvence dabā ir plaši sastopama, it sevišķi attiecības: 5:8, 8:13, 13:21, 21:34 utt. [5]
ZELTA GRIEZUMS MUMS APKĀRT
Zelta griezums ir plaši izplatīts gan dzīvajā, gan nedzīvajā pasaulē. Šo attiecību ir iespējams saskatīt cilvēka ķermenī, dzīvnieku un augu pasaulē, ģeometriskās figūrās, ķīmiskos elementos, gleznās, arhitektūrā un tā var turpināt vel ilgi. [4][5]
Iņ un Jaņ
Saskaņā ar Ķīnas kosmoloģisko teoriju- divu piecstūru saplūšanu, kuras rezultātā rodas desmitstūris , filozofiski traktē kā pretstatu vienības principu un tas ir visa attīstības pamatā. Tas ir tā sauktais IN – JAN princips. [5]
Formulā (1+√5) / 2 = φ sastopams skaitlis √5, kas senajā Ķīnas filozofijā raksturo vīrišķās sākotnes harmoniju – Jan. Matemātikā pastāv princips, saskaņā ar kuru √2 ir √5 spoguļattēls. Skaitlis √2 šajā filozofijā savukārt nozīmē sievišķo proporciju harmoniju – Iņ. Tas ir lielums, kuru mēdza izmantot Leonardo da Vinči noteiktu attēla attiecību veidošanai. [5.,91.lpp.]
Matemātiskajās darbībās samērā bieži var sastapt skaitļu 5 un 2 transformāvijas: 1/5 = 0,2; ½ = 0,5. Te visur figurē skaitlis 1, kuru paņem par atskaites sākumu proporcijām. Ja nepieciešams savstarpēji sasaistīt proporcionālā veidā divus galējus lielumus, tad šāda saikne ir to vidējais proporcionālais. Lai sasaistītu skaitļus 1 un 2, saikne ir 1×2=2. Savukārt skaitļu 1 un 5 sasaistīšanai piemērotākais ir šo skaitļu vidējais lielums √5. [5]
Gan dzīvos organismos, gan arī kristālos notiek vīrišķās sākotnes Jan (√5) un sievišķās Iņ (√2) saistība vienotā veselajā. Šī vienotība simbolizē dzīvības sākumu. Pretpolu vienotība ir universāls dabas likums. Tas ir Lielais Princips, kas ir cilvēkā, atomā, Visumā. Tas rada nepārtrauktās kustības un attīstības procesam nepieciešamo potenciālu starpību. Jan un Iņ ir divi pretpoli, starp kuriem notiek enerģijas plūsma. Ķīnas kosmoloģijas termini te lietoti tādēļ, ka tie uzskatāmi ļauj izprast matemātisko proporciju jēgu. Melnā daļa nozīme Iņ, bet baltā – Jan. Katras daļas centrā ir kontrastējošs punkts, kas simbolizē jaunas sākotnes rašanos tās pretstatā. Aplis nozīme harmonisko vienotību, bezgalību, mūžību, kuras ietvaros nav stingru robežu starp viena pretstata beigām un otra sākumu. Monāda nav kāda ģeniāla mākslinieka izdomāta figūra. [5.,92.lpp.]
Ķīnieši savā laikā ieguva attēlu (3.attēls) novērodami Saules pārvietošanos pār debesjumu savā gadskārtējā ciklā. Periodiski mērot ēnas garumu, kuru met zemē iesprausts miets, viņi ieguva dažāda garuma nogriežņus. Ja gadu attēlo pilnu apli, tad tajā iezīmētie tumšienogriežņi polārajās koordinātās aizpilda monādā redzamo figūru, veidojot proporcionālas attiecības starp tumšo un gaišo. [5.,92.lpp.]
3.att. Iņ un Jaņ simbols
Proporcija ģeometrijā
Zelta taisnstūri
Par zelta taisnstūri sauc taisnstūri, kura karākās malas attiecība pret īsāko malu ir zelta griezums, tas ir 
Šādam taisnstūrim (4.attēls) piemīt interesantas īpašības. Ja no tā nogriež kvadrātu, tāpat paliek zelta taisnleņķis. Šis process var turpināties līdz bezgalībai.
Apskatīsim vienkāršāko zelta taisnstūra gadījumu kad, AB = t un BC = 1.
4.att. Zelta taisnstūris
Atradīsim tagad uz nogriežņiem AB un DC punktus E un F , kuri dala abas malas attiecīgi zelta griezumā, skaidrs paliek tas, ka AE = DF = 1, tad ari [3]
Tagad savienosim punktus E un F ar nogriezni EF un nosauksim šo nogriezni par “zelta nogriezni” ar nogriežņa EF palīdzību izrādās ka taisnstūris ABCD tiek sadalīts divos taisnstūros AEFD un EBCF, tā kā taisnstūra AEFD visas malas ir vienādas, nesanāk nekas cits kā kvadrāts. [2]
Apskatīsim taisnstūri EBCF, par cik viņa garākā mala BC =1, tad no kā izriet, ka EBCF ir zelta taisnstūris un zelta līnija EF sadala taisnstūri ABCD kvadrātā AEFD un jaunā zelta taisnstūrī EBCF [2]
Novilksim tagad abu zelta taisnstūru ABCD un EBCF diognāles DB un EC no trīsstūru ABD, FEC un BCE īpašībām izriet, ka punkts G sadala zelta griezumā gan diognāli DB gan nogriezni EF. Novilksim tagad jaunu zelta līniju GH zelta taisnstūrī EBCF, skaidrs paliek tas, ka zelta līnija GH sadala zelta taisnstūri EBCF jaunā kvadrātā GHCF un jaunā zelta taisnstūrī EBHG, pie kam vel punkts I sadala diognāli EC zelta proporcijā un arī nogriezni GH zelta proporcijā. Turpinot šo procesu vairākkārtēji mēs iegūsim neskaitāmi daudz kvadrātus un zelta taisnstūrus, kuri beigās saplūst punktā O. [2][3]
Uzsvērsim to, ka bezgalīga šādu kvadrātu un zelta taisnstūru konstruēšana mūsos izraisīs neapzinātu estētisku un harmonisku skaistumu. Tiek uzskatīts ka tieši šis apstāklis ir iemesls tam, ka daudzi taisnstūrveida formas priekšmeti ar kuriem cilvēkiem ir saistība piemēram, sērkociņu kastītes, dažādas lādītes, grāmatas, koferi, bieži vien ir tādu izmēru, kuri nosaka zelta griezumu. [3]
Pentagramma un pentagons.
Zelta giezuma proporcijas ir daudz ģeometrisku figūru pamatā. Tāds, piemēram, ir regulārs piecstūris (5.attēls). Visām figūrām ar nepāra līniju skaitu ir skaidri izteikta smaile, kas vērsta vai nu augšup, vai lejup. Daba to plaši izmanto, un piecstūris ir viena no universālajāmbioloģisko konstrukciju formām. Šādu figūru savstarpējs salikums neveido regulāru, parketam līdzīgu klājumu, bet piepilda laukumu ar bezgalīgi daudzveidīgu kombināciju rakstu. Figūrām ar līniju pāra skaitu nav izteiktas smailes, bet šāds variants savukārt ir pamatā dihotomijai – katra nākamā posma dalījumam divās daļās. [5.,93.lpp.]
Vārds pentagons (no grieķu valodas”pentagonon”- piecstūris), kas mums ļoti labi ir pazīstams no ASV aizsardzības ministrijas ēkas nosaukuma. Pentagons, kuram piemīt vienādmalu piecstūra forma(pentagons).
5.att. Regulārs piecstūris
Tajā pašā laikā šim zīmējumam ir arī cits nosaukums „pentagramma” ( no grieķu vārdiem “pentagrammon”, “pente”-pieci un “gramma” – līnija) , kas nozīmē to, ka tas ir vienādmalu piecstūris, uz kura šķautnēm ir izveidoti dažādi trīsstūri ar vienādiem augstumiem.
Pentagona diognāles veido piecstaru zvaigzni, ir pierādīts, ka vietās kur krustojas diognāles tās tiek sadalītas zelta proporcijā, pie kam, šīs diognāles izveido vel jaunu pentagonu FGHLK. Jaunajā pentagonā var novilkt jaunas diognāles, kuras atkal krustojoties veidos jaunu pentagonu, u šis process var turpināties bezgalīgi. Tādā veidā pentagons ABCDE it kā sastāv no vairākiem nesaskaitāmi daudz mazākiem pentagoniem, kuri veidojas krustojoties diognālēm. Šī neskaitāmā ģeometriskās figūras turpināšana liek sajust figūras ritmiskumu un harmoniju, kas neapzināti fiksējas mūsu atmiņā. [3][5]
Pentagrammā var atrast neskaitāmi daudz zelta griezuma proporciju, kā, piemēram, pentogrammas diognāles garums pret tās malas garumu, ir vienāds ar zelta proporciju. [5]
Tagad attiecīgi apskatīsim nogriežņus FG, EF, EG, EB. Viegli saskatīt ir to, ka tie ir saistīti ar sekojošu proporciju. [3]
Pentagramma sevī ietver vairumu brīnišķīgu figūru, kuras plaši tiek izmantotas mākslas darbos. Antīkajā kultūrā ļoti labi pazīstams tā sauktais “zelta bļodas” likums (6.att.), kuru izmantoja senlaiku skulptori. Iezīmētā pentagrammas daļa sniedz shematisku priekšstatu par “zelta bļodu”. [3]
6.att. Zelta bļoda
„Piecstūrainā zvaigzne”, kas ietilpst pentagrammas sastāvā sastāv no pieciem vienādmalu „zelta trīsstūriem”, kuri atgādina burtu A (piecus krustiskus burtus A). (11.attēls). [3]
Katram zelta trīsstūrim (7.attēls) ir šaurais leņķis A = 36°. Un divi pamata leņķi D = C = 72°. “zelta trīsstūra” galvenā īpašība slēpjas tajā, ka malu DA=AC attiecība pret malu DC ir vienāda ar zelta proporciju t. Pētot pentagrammu un zelta trīsstūri Pitagorieši bija izbrīnīti, kad pamanīja ka bisektrise DH sakrīt ar pentagona diognāli DB(10.attēls) un dala malu AC punktā H zelta proporcijā (11.attēls), pie kā rodas zelta trīsstūris DHC, ja tagad novilktu stūra H bisektrisi līdz punktam H’, turpināt šo procesu neskaitāmas reizes, tad mēs iegūsim neskaitāmi daudz zelta trīsstūru. Gluži tāpat kā gadījumā ar zelta taisnstūriun pentagrammu, neskaitāmas reizes viena un tā pati priekšmeta attēlošana, izmantojot zelta proporciju, noved pie tā, ka šis veidojums mums liekas acīm tīkams un harmonisks. [3][5]
7.att. Zelta trīsstūris
Piecstaraino zvaigzni, kas iezīmēta šādā figūrā Pitagorieši ir izvēlējušies kā cilvēka simbolu. (8.attēls). [5.,93.lpp.]
8.att.
Apgriezto zvaigzni ar virsotni uz leju izmanto sātanisti. [5.,93.lpp.]
Zelta spirāle
Spirāle (9.attēls) – tā ir šaura plakana līnija, kura veidojas punktam, pēc noteikta likuma, laika posmā attālinoties no tā sākotnējā loka vienmērīgi griežoties ap savu sākumpunktu. Ja spirāles sākuma punktu izvēlēties par koordinātu plaknes centru, tad matemātisko spirāli var attēlot ar matemātiski polāra vienādojuma palīdzību r = f(j), kur r-rādiuss vektora spirālei, j-leņķis, ko atliek uz polārās ass, f(j)-jebkura monotoni (vienveidīgi) pieaugoša vai dilstoša spirāles funkcija.
Ja punkts no sākuma attālinās vienmērīgi (r = аj), tad izveidojas Arhimēda spirāle, taču ja punkts attālinās (r = aemj, kur A- patvaļīgs pozitīvs skaitlis), tad izveidojas logaritmiska spirāle. [2]
Jebkura logaritmiska spirāle veido augšanas priekšstatu, kas iespējams ir izteikta izmantojot ģeometrisko progresiju. Pie šīm īpatnībām, nozīme piemīt “zelta” logaritmiskajai spirālei, kurā ģeometriskās progresijas locekļi ir zelta proporcijas skaitļi. {tn}(n = 0, ±1, ±2, ±3, …). Šādai spirālei piemīt īpašība būt vienlaicīgi gan ģeometriskai, gan algebriskai progresijai. Pēc daudzu zinātnieku uzskata, tā ir lieliska īpašība(pieaugšanas iespēja izmantojot vienkāršu saskaitīšanu).kas deva iespēju pierādīt un paskaidrot daudzus procesus, kuri notiek botānikā un bioloģijā. [2]
Jāpiemin arī to, ka zelta spirāle savā veidošanās procesā ir ļoti saistīta ar zelta taisnstūri. [3]
Ja par spirāles sākumpunktu pieņemam punktu, kur kopā saiet visi zelta daudzstūri, kuri rodas no iepriekšējā zelta daudzstūra atdalot kvadrātu, tad zelta spirāle iziet caur katriem trijiem punktiem no četriem, kuri veidojas konstruējot jaunu zelta daudzstūri. [2][3][5]
Spirāli iegūst novelkot riņķa līniju no vienas kvadrāta virsotnes. Dabā pastāv šīs spirāles atspoguļojums – moluskos, gliemežos, galaktiku spirālēs, muflona ragu izliekumā, DNS molekulas struktūrā. Tā ir cilvēka embrija attīstības formā un iekšējās auss gliemežnīcā. [2.,26.lpp.]
Dekagons
Senie grieķi desmitstūri (10.attēls) uzskatīja par augstāko skaistuma principu, bet ēģiptieši par kārtības simbolu jeb laimes riteni. Aprēķini rāda, ka aplocē ievietotam pareizam desmitstūrim rādiusa attiecība pret malas garumu ir Fibonači skaitlis, kas simbolizē pasaules harmoniju. [3]
Vienādmalu desmitstūra mala, kas ir ievilkta riņķalīnijā ir vienāda ar rādiusa lielo daļu, kura ir sadalīta ar zelta griezumu, jeb S = r/ 1,618 un r/s = 1,618.
10.att. Dekagons
Mākslā
Sapratis, ka mākslā liela nozīme ir zināšanām, Leonardo da Vinči īpaši centās studēt proporcijas. Viņš eksperimentēja ar stereometriskiem ķermeņiem, kurus veido pareizi piecstūri. Tā radās nosaukums ZELTA GRIEZUMS. Savdabīga himna zelta griezumam ir Leonardo da Vinči laikabiedra matemātiķa Lukasa Pačolli grāmata „Par dievišķo proporciju”, tajā bija 60 lieliskas Leonardo da Vinči ilustrācijas. [1]
Senās civilizācijas atstājušas mantojumā mīklas, kuras līdz pat šim brīdim nav pilnībā atminētas. Dižākais piemineklis dievišķajam trīsstūrim ir izturējis gadu tūkstošu pārbaudi – tās ir Senās Ēģiptes piramīdas. Heopsa piramīda ir ne tikai kapene, bet arī neatrisinātu skaitļu kombināciju kalambūrs. Laikmetā, kurā piramīdas būvēja, nebija rakstības, nebija hieroglifu, un simboli bija vienīgais atklājumu pieraksta veids. Piramīda būvēta tā, lai katras tās skaldnes laukums līdzinātos augstuma kvadrātam. Ja skaldnes garumu izdala ar augstumu, iegūst skaitli 1,618 – zelta proporciju. Šis pats skaitlis ir pamatā Meksikas piramīdu proporcijām, kuras būvētas apmēram vienā laikā. Arī antīkās arhitektūras šedevrs Partenons atbilst zelta dalījuma principam. Renesanses laikmetā interese par skaistuma un harmonijas noslēpumu nodarbināja gan zinātnieku, gan mākslinieku prātus. [3][5][9]
Jau kopš seniem laikiem zelta griezums atspoguļojas arhitektūrā – gan Partenons Akropolē, gan 12. gs. Rietumeiropas baznīcas, gan Šartras katedrāle.
Starp jaunāko laiku arhitektūras paraugiem īpaši bieži zelta proporcija sastopama Lekorbizjē projektos. Viena no dižākajām mūsdienu celtnēm ir Apvienoto Nāciju Organizācijas galvenā mītne. Šīs ēkas proporcijas skaistumu nosaka zelta taisnstūris.
Reti kurš mākslas darbs piesaistījis tik daudz zinātnieku uzmanības kā Leonardo da Vinči Monas Lizas portrets. Kompozīcijas konstrukcijas pamatā ir zelta trīsstūris, kas veido piecstarainu zvaigzni jeb piecstūri. [1][5]
Mikelandželo gleznā „Svētā ģimene” galvenās figūras ievietojas pentagrammā jeb piecstaru zvaigznē. [3]
Rafaēla „Krustā sišana” ir cits labi zināms piemērs. Te galvenās figūras vieno zelta trīsstūri. Gleznā „Marijas saderināšana” Rafaēls apvienojis zelta griezuma proporcijas ar simetriju. [3]
Visos laikos mākslinieki apzināti vai neapzināti ir centušies apgūt estētiskās uztveres likumības. Gluži intuitīvi tie veidoja kompozīcijas, kurās atsevišķu elementu savstarpējās attiecības bija aptuveni 3:5 vai 5:8. Daudzās ievērojamu mākslinieku gleznās sprieguma centrs atdala kompozīcijas laukumu skaitļa 1,618… attiecībās. [3]
Itāļu mākslinieks MarioMerz 1994. gadā uz skursteņa Somijā izvietoja neona spuldzes, kas attēlo Fibonači skaitļus. [3]
Fibonači skaitļi dažreiz apzināti tiek lietoti arī mūzikā. Piemēram, tos savos darbos lietojis latviešu izcelsmes amerikāņu komponists Gundaris Pone.
Augos.
Pārsteidzoši, bet Fibonači virknei ir daudz atbilstību dabā. Ja uzmanīgi pavērojam augu konstrukcijas, Fibonači skaitļu rindas universālās izpausmes sastopamas bieži. Augi, protams, nekā nezina par skaitļu sekvenci. Tie aug, lai pēc iespējas labāk izvietotu zarus, lapas, ziedus un augļus. Rezultātā daudzos gadījumos lapu izvietojums ap stublāju atbilst Fibonači skaitļiem. Pakāpeniski tiekdamies augšup, augi izvieto lapas spirāles veidā (sk.8.att.), katrā nākamajā pakāpē ievērojot noteiktu leņķi, kuru aprakstot lapa novietojas tā, lai neaizēnotu zemākajos spirāles stāvos jau esošās. Tas iespējams, ja leņķis ir 222,50 attiecībā pret iepriekšējo lapas augšanas punktu. Šo skaitli mēdz saukt par zelta leņķi, jo tas dala 3600 aploci attiecībās, kas atbilst zelta griezuma skaitlim 0,618… [5.,95.lpp.]
Attēlā redzami 5 pilni spirāles apļi (11.attēls) , kas veido 8 pakāpienus starp lapu 1. un devīto lapu. Fibonači skaitļu attiecība šim augam ir 5/8. Pakāpienu Pēc pakāpiena lapas izvietojas ap stublāju, veidojot attiecības 1 /2 ; 2/3; 3/5; 5/8. [5.,96.lpp.]
11.att.
Samērā reti ir gadījumi, kad ziedlapu skaits ir 1 vai 2. Vairāk ir augu ar 3 ziedlapām, bet ar 5 ir simtiem augu. Tālāk seko skaitļi 8, 13, 21, 34, 55, un 89. [5]
Arī ananāsa un čiekura spirālēs slēpjas šī skaitļu virkne, uz katru pusi iet noteikts skaits šo spirāļu. [5, 97.lpp.]
Dzīvniekos
Dzīvnieku daudzveidība ir milzīga. Taču visa daba ir vienota, arī dzīvnieku formu harmonija pamatojas uz tiem pašiem universālajiem likumiem.
Zivju zvīņu sakārtojums atgādina spirāles uz priedes čiekura, kur slēpjas Fibonači skaitļi. Zelta proporcija ir ļoti skaidri izteikta ģeometriski precīzajām gliemežu formām. Jūras zvaigžņu staru skaitlis atbilst Fibonači rindai. Arī kukaiņos ir līdzīgi. Palūkojoties, piemēram uz spāres ķermeņa proporcijām. Tā posmojumā var saskatīt segmentus, kuru skaits ir 5 un 8. Kājas ir trīs pāri, un katra sastāv no trim posmiem. Atsevišķo ķermeņa daļu attiecības veido zelta griezuma proporciju, un spāre tāpēc izskatās skaista. [3][5.,99.lpp.]
Jebkuram bruņurupucim tā bruņu konstrukcijā redzamas 13 kopā saaugušas plāksnes: 5 centrā un 8 gar malām, bet perifēriju (pārējo daļu) ieskauj vēl 21 plāksne. Bruņurupuča kājām ir 5 pirksti un mugurkauls sastāv no 34 skriemeļiem. [5.,99.lpp.]
Cilvēki palaikam izjutuši simpātijas pret ķirzakas ķermeņa formu un labprāt attēlo šos dzīvniekus gluži dekoratīvos nolūkos. Protams, atkal sastopamies ar skaisto proporciju. Ķirzakas (12.attēls) astes garuma attiecība pret pārējo ķermeni ir 62:38. [5.,99.lpp.]
12.att. Ķirzaka
.
Malajas gavialam, piemēram, ķermeņa apmali ieskauj 55 plāksnes. Kaukāza odzei uz ķermeņa ir 55 plankumi. Gabonas odzei ir 144 muguras skriemeļi. Tie visi ir Fibonači sekvences skaitļi. [5]
Zīdītāji ir visaugstāk attīstītā dzīvnieku kategorija. To ekstremitātes, tieši tā pat kā kukaiņiem, ir dalītas trīs posmos, bet pirkstu skaits ir 5 – līdzīgi ķirzakām, bruņurupučiem un krokodiliem. Ribu pāru skaits daudziem dzīvniekiem ir 13. Mugurkaula skriemeļu skaits variē, bet to daudzums vai nu atbilst, vai ir tuvs skaitļiem 34 un 55. Arī zobu daudzums ir tuvs Fibonači skaitļiem. [5.,99.lpp.]
Zelta proporcijas ir noteicis evolūcijas princips. Ja palūkojamies uz jātnieku un zirgu vai toreadoru un vērsi (13.atēls), tad diezgan provokatorisks ir jautājums, kurš no visiem ir pats skaistākais. Ķermeņa formu harmonija taču visiem atbilst vienām un tām pašām proporcijām. [3][5]
13.att. Zirgs un vērsis [5.,99.lpp.]
Cilvēka proporcijās
Iespējams, ka pirmais cilvēks, kurš izstrādāja Rietumeiropā cilvēka ķermeņa proporciju kanonu bija romiešu arhitekts Vitrūvijs Pallo (1 gs. Pirms mūsu ēras). Savā traktātā viņš raksta: “Daba cilvēku ir iekārtojusi tā, ka delnas plaums līdzinās četriem pirkstiem, četras delnas līdzinās vienai pēdai, sešas delnas = viens elkonis, četri elkoņi = cilvēka augums. Ja tu izpletīsi kājas tā, ka augums samazināsies par 1/14, ja tad izpletīsi rokas un pacelsi tās ka, vidējie pirksti būs galvas augstumā Tev jāzin, ka centrs būs naba, bet tavu izplesto locekļu gali veidos aploci. Bet izplesto roku platums līdzinās augumam”. Zīmējumā – Vitrūvija cilvēks (13.attēls) pēc Leonardo da Vinči zīmējuma [5.,100.lpp.]
14.att. Vetrūvijas cilvēks
Proporcionālā dalījuma vieta ķermenī ir naba. Vīrieša proporcija ir 13:8= 1,625. Sievietes proporcijas ir 8:5= 1,6. Vīrieša ķermeņa proporcionālais dalījums ir tuvāks zelta griezumam, bet faktiski abu dzimumu proporcijas novirzās nedaudz katra uz savu pusi no absolūtā zelta proporcijas skaitļa 1,618…, tā savdabīgā ģeometriskā veidā izpaužot dzimumu atšķirības. Jaundzimušajiem šī proporcija ir 1:1. [5]
Visu cilvēka apakšsistēmu – orgānu – uzbūve un funkcijas ir pakļautas šiem pašiem likumiem un principiem, kas dabā sastopami arī pārējām dzīvajāmradībām. Mugurkaulā ir 34 skriemeļi. Cilvēku sadalījums atbilstoši trim asinsgrupām ir 8:21:34. Eritrocītu, leikocītu un trombocītu attiecības asinīs ir proporcijās 62:32:6, līdz ar to eritrocītu daudzums attiecas pret dieviem pretējiem asinsķermeņu tipiem kā zelta proporcija. Katram cilvēkam ir divas rokas un divas kājas, katrai rokai un kājai ir 5 pirksti, katrs pirksts sastāv no trim posmiem, kurus saista 2 locītavas. Plaukstas pamatā ir astoņi kauli, kas saistīti ar pieciem delnas kauliem. Visi šie skaitļi atbilst sekvencei. Zelta proporciju veido rokas atsevišķo posmu izmēru attiecības (15.attēls). [5.,101.lpp.]
15.att. Cilvēka roka
Fibonači rindas un zelta griezuma izmantošana ekonomikā
Fibonači rindu un zelta griezuma īpašības izmanto arī ekonomikā, piemēram Fibonači indikators (FIBO) tiek izmantots akciju un valūtu tirgos, kā rādītājs akciju pirkšanas vai pārdošanas tehniskajai analīzei. Šajā gadījumā tiek izmantoti gan koeficienti no Fibonači skaitļu savstarpējās attiecības. (16.attēls) [7.,238.lpp.]
Valūtas un akciju tirgus tehniskajā analīzē izmanto sekojošas metodes: [7.,241.lpp.]
Fibonači vēdekļa līnija.
Fibonači lokus
Fibonači korekciju līmenus (17.attēls)
Fibonači laika rindas
PĒTNIECISKĀ DAĻA
Izmantojot fotogrāfijas, kurās attēlotas jūgendstila ēkas Rīgā veicām mērījumus dažādās ēku daļās, no kā var secināt, ka tur saskatāma zelta griezuma proporcija. fotogrāfijas ir fotografētas no cilvēku skatu punkta, tāpēc nav proporciju attiecība nav tik precīza. Mēs veicām mērījumus un esam apkopojuši šeit proporcijai vistuvāk esošās ēkas daļas. Tabulas kreisajā pusē ir ēkas attēls, bet labajā – ēkas apraksts un zelta griezuma proporcija ēkas attiecīgajā daļā.
|
|
Jūgendstila dzīvojamā ēka, celta 1904, gadā, arhitekts Mihails Enzenšteins (18.attēls). Zelta griezums veidots otrā un trešā stāva apvienojumam pret ceturto stāvu. ( 2,23 : 1,36 = 1,64) [6. 41.,lpp] |
|
|
Jūgendstila dzīvojamā ēka Alberta ielā 13 (19.attēls). Ceta 1904. Gadā, arhitekts M. Eizenšteins. Bildē ir zelta griezums starp jumta veidojuma pirmo un otro daļu uz kuras atrodas (0,95:0,6=1,58). [6., 40 lpp] |
|
|
Ēka celta 1908gadā (20.attēls) , tās arhitekts Hermanis Hilbigs. Jūgendstila māja atrodas Alberta ielā 7. Mājai zelta griezumu var izmērīt izmērot no 3 līdz 5stāva apvienojumu dalot ar pirmā un otrā stāva pelēkajā krāsā veidoto fasādi (2.0:1.19=1.697) [6.] |
|
|
Skolas ēka Strēlnieku ielā 4 (21.attēls). Celta 1905. Gadā, arhitekts Mihails Enzenšteins. Atēlā saskatāmi divi zelta griezumi- viens no mājas pirmā stāva un otrā stāva (1,22:0.7 =1,7) [6., 36 lpp] |
|
|
Jūgendstila dzīvojamās ēkas durvis audēju ielā 7.(22.attēls). Māja celta 1899. gadā un tās arhitekti A.Aschenkampff un M. Scherwinsky. Attiecība pret durvju daļu un loga daļu ir zelta griezuma proporcija (2,9:1,7=1,7) [4.] |
|
|
Dzīvojamā ēka Blaumaņa ielā 31 (23.attēls). Celta 1911. gadā, arhitekts A. Vanags. Mājas stūra konstrukcijā aprēķinot izveidojas zelta griezums (1,12:0,71=1,57)[4.] |
|
|
Brīvības ielas 55 logu proporcija zelta griezumā (24.attēls). Nams uzbūvēs 1900 gadā, to projektējis W.Neumann. Logu un loga rotājumu ir veidots zelta griezumā (2,51:1,52=1,65) [4] |
|
|
Nams celts 1912. gadā, tās arhitekts A. Vanags (25.attēls). Atrodas Brīvības ielā 58. Nama jumts pret torni veido zelta griezumu un jumta kupols pret mājas augšējiem diviem stāviem. (1,17:0,68=1,7) un (3,14:1,86=1,69) [4.] |
|
|
Nams bankas vajadzībām (26.attēls), projektējis P. Mandelstams 1913 gadā.mājas pirmais stāvs veido zelta griezumu pret pirmā un otrā stāva apkopojumu. (1,85:1,17=1,58) [4.] |
|
|
Dzīvojamais nams Elizabetes ielā 33 (27.attēls). Celts 1901 gadā, to projektējis M.Eisensteins. zelta griezums veidojas attiecībā pret fasādes dekorējamo daļu un stāvu (2,5:1,55=1,7) [4.] |
|
|
Nams (28.attēls) celts 1919. Gadā, to projektējis Eišens Lube. Nams atrodas Ģertrūdes ielā 32. Mājas 1-4 stāvs attiecībā pret 5-6 un dekoratīvo daļu veido zelta griezumu. (2,92:1,91=1,53) [4.] |
|
|
Ēkas arhitekts V. Bokslafs, to uzcēla 1903.gadā (29.attēls). Jūgendstila ēka atrodas Jaunielā 25/29. Ēka saskatāmi divi zelta griezumi – viens ir starp ēkas torņa pirmo un otro, augstāk esošo daļu (0,7:0,44=1,59), otrs zelta griezums ir mājas 1-2 stāva apvienojums pret 3-5 stāva apvienojumam (2,44:1,6=1,53) [6., 20 lpp] |
|
|
Dzīvojamā ēka ar veikalu Kalēju ielā 23 (30.attēls). Tās arhitekts P. Mandelštams, tā uzcelta 1903. gadā. Mājas jumta attiecība pret jumta tornīti veido zelta griezumu. (1,09:0,67=1,63) [6., 16lpp] |
|
|
Nams (31.attēls) celts 1911. gadā, tās arhitekts A. Vanags. Nams atrodas Krišjāņa Barona ielā 37. Durvis ar arku virs tām veido zelta griezumu (1,77:1,08=1,64) [4.] |
|
|
Nams celts 1910. gadā Lāčplēša ielā 21 (32.attēls), to projektējis R. Dohnbergs. Nama torņa logi ar logu arku veido zelta griezumu (1,63:1,05=1,55) [4.] |
|
|
1903. gadā celtā māja (33.attēls), kuras arhitekts ir R. Cirkvics atrodas Rūpniecības ielā 1. Zelta griezumi atrodami starp pirmo un otro un trešo stāvu (1,53:0,67=1,73), bet otrs zelta griezums atrodams starp 2-3 stāvu apvienojumu un 4stāvu (1,55:0,91=1,7) [6.,33] |
|
|
Nams celts 1910. gadā, atrodas Skolas ielā 4 (34.attēls) un to projektējis J. Alksnis. Dievišķā proporcija saskatāma gan attiecībā jumta trīsstūra veidojumiem pret 4 stāvu (1,74:1,04=1,67), gan pirmais stāvs pret otrā un trešā stāva apvienojumu (1,21:0,76=1,59) [4.] |
|
|
Nams atrodas Teātra ielā 9 (35.attēls) un to projektējuši H. Šēle un F. Šelfs. No loga līdz loga arkai ir redzams zelta griezums (1,41:0,9=1,57). [6., 14 lpp] |
|
|
Jūgendstilam raksturīga ēka Smilšu ielā 8 (36.attēls). 1902 gadā celta un tās arhitekti H. Šēls un F. Šēfels. Ēkas logs un dekoratīvā mala starp logiem veido zelta griezumu (1,71:0,99=1,72). [6., 23 lpp] |
|
|
Nama (37.attēls) arhitekti K. Pēkšēns un A. Moedlingers. Nams celts 1909. gadā un tas atrodas Tērbatas ielā 14. Starp jumtu un torni ir saskatās zelta griezums (2:1,26=1,59), kā arī starp tornīš jumta daļu un pulksten daļu (1,26:0,74=1,7) [4.] |
SECINĀJUMI
Sacinājām to, ka zelta griezumu sāka izmantot jau ļoti sen. Jau pirms mūsu ēras izmantoja zelta griezumus tempļu un dievnamu būve. Gan celtnes, gan tempļi, kuri ir saglabajušies līdz mūsdienām ir ieguvuši lielu slavu un apbrīnu savas harmonijas dēļ.
Pētot dažādus literatūras avotus, nonācām pie atziņas, ka zelta griezuma vēsturei nav noteikta sākuma, jo, lasot dažādus avotus, informācijas dati bija atšķirīgi, kurus apkopojot spējām izveidot nelielu ieskatu zelta griezuma atklāšanā.
Apkopojot informāciju par augu, dzīvnieku valsts pārstāvjiem, secinājām, ka visā dzīvajā dabā ir atrodama dievišķā proporcija; un tajā pašā laikā arī Fibonačī rindas skait
ļu virknes daļas, tāpēc gan dzīvnieki, gan augi ir tiešā saistībā ar skaitļiem un proporciju likumiem.
Apskatot un izmērot profesionalu fotogrāfu fotogrāfētus Rīgas jūgendstila ēku attēlus varēja secināt, ka tajās ir ticis izmantots zelta griezums vai ir tikuši pielietoti Fibonači rindas skaitļi. Šo proporciju ir iespējams saskatīt gandrīz katrā šī stila veidotā ēkā, par ko liecina mūsu pētījums. Secinam, ka 19. gadsimta beigās un 20. gadsimta sākumā Rīgā bija populāra jūgendstila arhitektūra un zelta griezums, kas kopā ir veidojis harmoniskas un acīm tīkamas ēkas, kuras mūsdienās ir populārs apskates objekts tūristiem un māklas mīļotājiem.
IZMANTOTĀ LITERATŪRA
Benets P. Pasaules izcilākie mākslinieki – Leonardo da Vinči – Rīga : Zvaigzne ABC, 1993.
Bols D. Brīnumainā skaitļu pasaule – Rīga: Zvaigzne ABC, 2006. – 96 lpp.
Flinns M. Bezgalība tavā kabatā – Rīga : Zvaigzne ABC, 2007. – 144 lpp.
Krastiņš J. Rīgas jūgendstila ēkas: ceļvedis pa jūgenstila metropoles arhitektūru – Rīga: ADD Projekts, 2007. – 408 lpp.
Kundziņš M. Dabas formu estētika – Rīga : Madris, 2004. – 168 lpp.
Lamsters A. Jūgendstils : tēli un detaļas – tradīcija Rīgas arhitektūrā – Rīga: Madris, 2007. – 54 lpp.
Rupeika-Apoga R. Tirdzniecība ar valūtu kā uzņēmējdarbības veids – Rīga: Jānis Roze, 2006 . – 336 lpp.
Slokenberga E., France I., France I. Matemātika 10.klasei – Rīga: Lielvārds, 2009.
Энциклопедия для детей – Maskava: Avanta+, 2005.
ANOTĀCIJA
Darba autori: Lāsma Milgrāve, Miks Milgrāvis.
Darba Vadītājs: Sanita Balanda.
Darba Mērķis: izpētīt, kā zelta griezums atspoguļojas dzīvajā, nedzīvajā dabā un arhitektūrā.
Ievadā aprakstīts kāpēc šī tēma izvēlēta, kādi ir pētnieciskā darba uzdevumi un kādas metodes tiks izmantotas.
Teorētiskajā daļā tika izpētīta un izanalizēta zinātniskā literatūra par zelta griezumu, tā vēsturi un esamību kā arhitektūrā, tā arī dzīvajā dabā.
Atradām pierādījumus, ka zelta griezums tika pielietotsjau viduslaikos un krietni pirms tam. Izzinājām tā pielietojumu arhitektūrā, kā dievišķā proporcija iekļaujas dabā, rada harmoniju un mieru.
Izpētījām zelta griezumu matemātisko pamatojumu, kā arī Fibonači rindas skaitļu attiecību pret zelta griezumu.
Izpētījām zelta griezuma atrašanos gan dzīvajā, gan nedzīvajā dabā.
Pētnieciskā daļa veicām mērījumus profesionālu fotogrāfu fotografētajām Rīgas jūgendstila ēku attēliem.
Secinājām, ka Rīgas jūgendstila ēku apdarē var saskatīt zelta griezumus, kā arī Fibonači rindas skaitļu virknes daļā.
Darbs satur 35 lapas. Darbs sastāv no satura rādītāja, ievada, teorētiskās daļas, praktiskā darba, secinājumiem un izmantotās literatūras. Izmantotas 20 fotogrāfijas, 17 attēli.
SUMMARY
Authors: Lasma Milgrave, Mikus Milgravis
Advisor: Sanita Balanda
Golden section
Aim: Discover how golden section reflects in nature and architecture
In the beginning of work authors describe why theme is chosen and what methods are used. Authors described and analyzed theoretical base, historical roots about golden section and usage in different places in nature and architecture as well. There is evidence that golden section was used in medieval age and before. Authors got knowledge about how golden section is used in architecture with purpose to be in harmony and peace, and reflect natural proportions in environment. Authors described mathematical foundation of golden section as result of Fibonacci line.
In research part authors made measurements for professionally taken pictures of Riga „Art novo” buildings. As conclusion authors say that golden section is widely used in „art novo” building frontlines and that could gives special charm for them.
Work consists of 35 pages. It includes table of content, introduction, theoretical base, research part, conclusions, and list of used literature. There are 20 photos and 17 pictures in this work.
35
9.att. Zelta spirāle
1,36cm.
2,23cm
0,6cm
0.95cm
2,02cm
1,19cm
0.91cm
1.45 cm
0.70cm
1.22cm
1.7cm
2,9cm
1,12cm
0.71cm
1,52cm
2,51cm
0.68cm
1.17cm
1,86cm
3,14cm
1,85cm
1,17cm
2,5cm
1,55cm
1,91cm
2,92cm
0,44cm
0,7cm
2,44cm
1,6cm
1,09cm
0,67cm
1,08cm
1,77cm
1,63cm
1,05cm
0,91cm
1,55cm
1,33cm
0.77cm
1,21cm
0.76cm
1,04cm
1,74cm
0,9cm
1,41cm
1,71cm
0,99cm
0,74cm
1,26cm
2cm
1,24cm
16.att.
17.att.
18.att.
19.att.
20.att.
21.att.
22.att.
23.att.
24.att.
25.att.
26.att.
27.att.
28.att.
29.att.
30.att.
31.att.
32.att.
33.att.
34.att.
35.att.
36.att.
37.att.