ANOTĀCIJA
Darbā ir aplūkota tehnisko rezervju aprēķināšanas problēma auto apdrošināšanā. Tiek aplūkotas vairākas praksē lietotas metodes šo rezervju aprēķināšanai. Tiek piedāvāts šajos aprēķinos izmantot ARIMA modeļus. Ir dots neliels ieskats datorprogrammu paketes WinRATS iespējās, novērtējot ARIMA modeļus. Nobeigumā visas metodes tiek salīdzinātas, izmantojot vienu konkrētu piemēru.
ANNOTATION
The aim of this work is to contemplate the calculation problem of the Loss reserves in car insurance. There have been considered several widely used methods for the calculation of the reserves. It is offered to use ARIMA models in the calculation. There have been given a little insight into the possibilities of the software package WinRATS in evaluating ARIMA models. In conclusion all the methods have been compared using the concrete example.
SATURS
IEVADS 6
1 Rezervju aprēķināšanas metodes 8
1.1 Pakāpeniskās ķēdes metode 8
1.2 Reizinātāju metodes 10
1.3 Speciālgadījums – atdalīšanas metode 13
2 ARMA(p,q) modeļi. 19
2.1 Slīdošā vidējā modelis MA(q) 19
2.2 Autoregresīvais modelis AR(p) 22
2.3 Jauktie autoregresīvie slīdošā vidējā procesi ARMA(p,q). 24
2.4 Programmu pakete WINRATS. 26
3 ARMA(p,q) modeļu izmantošana rezervju aprēķinos. 29
4 Piemērs. 32
NOBEIGUMS 42
IZMANTOTĀ LITERATŪRA 43
IEVADS
Katru gadu apdrošināšanas kompānijām savs finansu gads jāslēdz 31. decembrī. Tas rada nopietnas problēmas, jo katrā laika momentā var būt daudzas vēl neiesniegtas prasības un nozīmīgas naudas summas var palikt ārpus rezervju prognozēm.
Dažas prasības kompānijai vēl nav pieteiktas tāpēc, ka tas ir noticis pašās gada beigās. Tās ir I.B.N.R. (incurred but not reported) prasības.
Dažas prasības vēl nav apmaksātas. Tas biežāk ir gadījumos, kad jākompensē miesas bojājumi. Lielākās summas parasti tiek izmaksātas par ceļu satiksmes negadījumos gūtajiem zaudējumiem kā kompensācija par ilgstošu darba nespēju. Lai uzzinātu kopējās apdrošināšanas izmaksas par šādiem negadījumiem, apdrošinātājam jāsagaida līguma termiņa beigas (traumas reizēm dzīst ļoti ilgi), lai eksperti varētu noteikt atbildības pakāpi un lai tiesa varētu noteikt zaudējumu summu. Arī prasību apmaksa var ilgt vairākus gadus. Lielākā aizkavēšanās parasti ir nopietnāko prasību gadījumā. Summas, kuras vēl nav izmaksātas un ir jārezervē, ir ļoti lielas. Kompānijas maksājumu likmju izpēte var, piemēram, uzrādīt tikai trešo daļu no kopējām prasību izmaksām sākotnējā gada ietvaros, apmēram 29% otrā gada laikā, 13% trešā gada laikā, 8% ceturtā gada laikā, u.t.t. Kad ir pagājuši 10 gadi, var izrādīties, ka 3.7% no prasību summas vēl joprojām nav izmaksātas. Miesas bojājumi, kas ir tikai desmitā daļa no prasību skaita, var izmaksāt ap 60% no kopējām prasību summām, bet aprēķināti kā 90% no rezervēm.
Rezervējamā naudas summa ir cieši saistīta ar prasību prognozēm. Tā, piemēram, var trīs reizes pārsniegt kompānijas ikgadējos ienākumus. Tā pat niecīgākais nepieciešamais novērtējums var slēpt sevī dramatisku efektu kompānijas rezultātu pārapdrošināšanā. Ja gadījumā kompānijas ikgadadējais ienākums ir 30 miljoni, kamēr prasību prognozes ir ap 3000 miljoniem un ja prognozes ir novērtētas tikai 2% par zemu, jādeklarē 30 miljonu deficīts. Šī kļūda var nākt gaismā tikai pēc vairākiem gadiem, pēc gūtās peļņas paziņošanas un dividenžu izmaksas.
Aktuāram, kurš aprēķina rezerves, jāsaskaras ar delikātām un būtiskām problēmām. Viņš ir sarežģītā situācijā, raugoties no sekojošiem apsvērumiem:
1. Rezerves parādās starp saistībām bilancē, un tas atstāj tiešu ietekmi uz peļņu un arīdzan uz kompānijas maksājamajiem nodokļiem. Ir liels kārdinājums pārspīlēt rezerves, lai novilcinātu nodokļu maksājumus. Rezervēt vairāk naudas nekā mazāk – tas ir zināms drošības pasākums, lai pasargātu sevi no iespējamām inflācijas svārstībām nākotnē.
2. Kompānija, kas ir sliktā finansiālā stāvoklī, var censties minimizēt savas rezerves. Vecas prasības apmaksājot ar tekošajiem ieņēmumiem, var vairākus gadus izdzīvot bez finansiālās krīzes, sevišķi, ja tas ir attīstības periods. Tādā veidā kompānija var gaidīt labākus laikus vai arī atlikt savu bankrotu uz vairākiem gadiem.
Tehnisko rezervju aprēķinos tiek lietots sekojošs izmaksu trijstūris:
Cij ir kopējās izmaksātā summa j – tā gada beigās par i – tā gada prasībām.
cih ir h – tajā gadā izmaksātā summa par i – tā gada prasībām.
Zīmīgi, ka diagonāles reprezentē kalendāros gadus. Visi uz vienas diagonāles esošie maksājumi ir veikti vienā norēķinu gadā. Informācija zem galvenās diagonāles nav zināma, tā reprezentē nākotnes maksājumus. Ar Ri apzīmēsim prognozējamo neizmaksāto i – tā gada prasību apjomu. kopējās i – tā gada prasību izmaksas.
Rezervju aprēķināšanas metodes
Turpinājumā iepazīsimies ar vairākiem modeļiem, kuri pasaulē tiek lietoti tehnisko rezervju novērtēšanai.
Metožu galvenais mērķis ir sastādīt izmaksu trijstūri, lai novērtētu lielumus Ci i=1,…,k un tātad arī rezerves Ri. Ideālajā variantā rezervju novērtējumam būtu jābūt vienādam ar dotā gada neapmaksāto prasību nosacīto vidējo vērtību, ko var uzdot sekojoši:
.
Visas metodes, kuras ir aplūkotas zemāk, ir balstītas uz vieniem un tiem pašiem principiem:
1. Pagātnes datu analīze
2. Modeļa parametru novērtēšana
3. Rezultātu ekstrapolēšana vai projecēšana nākotnē
Tām visām sākumā ir nepieciešams atrast Ci novērtējumu . Tiek pieņemts, ka ar lielu ticamības pakāpi ir zināms senākā gada rezervju novērtējums (vai arī pieņemam, ka relatīvi lieliem k, C1 ir tuvs C1k).
Pakāpeniskās ķēdes metode
Strādājot pēc šīs metodes tiek pieņemts, ka tādi ārējie faktori kā inflācija, izmaiņas portfeļa sastāvā, norēķinu likmēs vai likumdošanā neiedarbojas. Tiek pieņemts arī, ka trijstūra kolonnas ir proporcionālas, izņemot, varbūt, gadījuma svārstības. Tas nozīmē, ka mēs varam pieņemt:
Cij+1 = mjCij i = 1,…,k; j = 1,…,k-1 un Cj = MkCik i = 1, …, k.
mj ir gadījuma mainīgais, kurš reprezentē prasību maksājumu inflāciju starp j – to un j+1 – mo maksājumu gadu, bet Mk ir inflācija pēc jau pieredzētajiem k gadiem. Ja mēs to pieņemam, tad šie mainīgie nav atkarīgi no sākotnējā gada i.
Viens no mj un Mk novērtēšanas veidiem ir:
j = 1, …, k-1
un
.
Lai novērtētu rezerves Ri mums tikai soli pa solim jāizskaitļo prasību maksājumu inflācijas novērtējumi pēc j gadiem.,
,
tad secināt
un
.
Metodes vājās vietas.
Pakāpeniskās ķēdes metode pēdējā laikā kļuvusi par bargas kritikas upuri.
Pirmkārt, tā ir statistiski nepamatota, jo tiek reizinātas savstarpēji atkarīgas matemātiskas izteiksmes. Matemātiskā cerība no gadījuma mainīgo reizinājuma ir vienāda ar matemātisko cerību reizinājumu tikai tad, ja mainīgie ir neatkarīgi. mj reizinājums acīm redzami nav neatkarīgs. Lai par to pārliecinātos, varam pamainīt tikai vienu trijstūra elementu; ja gadījumā mēs nedaudz palielināsim C32, ievērosim, ka pieaugs, kamēr samazināsies, kas rāda, ka starp m1 un m2 pastāv negatīva korelācija.
Otrkārt, metode ir ļoti jūtīga pret aplūkoto vērtību svārstībām. C1k, starp citu, spēlē būtisku lomu kopš tas ir vienīgais novērojamais lielums skaitļošanā. C1k izmaiņas izsauc arī izmaiņas rezervēs. No otras puses Ck1 izmaiņas nemaina rezerves sākotnējiem k-1 gadiem, bet fundamentāli ietekmē k – tā gada rezerves.
Treškārt, metode ignorē jebkādas ārējo faktoru izsauktas trijstūra elementu vērtību izmaiņas. Lai mazinātu šo kritiku, var ierosināt apskatīt divus metodes variantus.
Pirmais variants: ņemt vērā inflāciju.
Mēs ņemam vērā inflāciju, strādājot ar “konstantām cenām”. Pamazinām visu, maksājumus par vidējo cenu indeksa pieaugumu. Pēc metodes pielietošanas lielumi tiek transformēti atpakaļ tekošajās vērtībās. Inflācijas līmeņa ekstrapolācija nākotnē ļauj mums noteikt rezerves.
Otrais variants: modificētā pakāpeniskās ķēdes metode.
Salīdzinot ar pamatmetodi, iegūstam būtisku uzlabojumu, ņemot vērā inflāciju. Tagad citi faktori (kompānijas norēķinu politikas maiņa, likumdošanas maiņa un citi) var ātri izmainīt norēķinu tempu. Mēs varam ņemt vērā atšķirības, kuras var pastāvēt starp dažādu gadu maksājumu likmēm, strādājot nevis ar Cij, bet gan ar
, kur
nij = kopējais sākotnējā gada i prasību skaits, kuras pieteiktas j – tajā maksājumu gadā,
nj = kopējais prasību skaits par notikuma gadu i.
Kopējais prasību lielums tādā veidā ir reizināts ar pieteikto prasību proporciju.
Praksē ni ir droši zināms tikai pēc visu I.B.N.R. prasību paziņošanas un nepamatoto prasību dzēšanas. Šķiet dabiski par ni izvēlēties pieteikto prasību skaitu plus prognozējamo par pēdējo pieejamo gadu nepieteikto prasību skaitu, minimizējot kļūdīšanās robežu. Tomēr, ja par senākajiem apdrošināšanas gadiem vidējā kļūda ir maza, tas ir vēl svarīgāk pēdējiem gadiem.
Reizinātāju metodes
Aplūkosim j – tā maksājumu gada nekumulatīvo maksājumu summu cij par sākotnējā gada i prasībām un formulēsim sekojošas hipotēzes:
1. cij ir neatkarīgi gadījuma lielumi.
2. cij var pierakstīt formā cij = xipji+j-1.
Tātad mēs pieņēmām, ka šī summa ir trīs lielumu reizinājums, kas respektīvi ir atkarīgs no sākotnējā gada, maksājuma gada un kalendārā gada.
xi – kopējā prasību summa, kas attiecas uz sākotnējo gadu i, izteikta konkrētā naudas izteiksmē.
pj – ir j – tajā maksājumu gadā samaksātā xi proporcija. Pieņemsim, ka maksājumu sadalījums pirmajos k gados {pj: j = 1,…,k} ir stabils laikā, t.i., nav atkarīgs no sākotnējā gada.
i+j-1 – ir inflācijas un ārējo faktoru līmenis. Tas rāda prasību izmaksu indeksu i+j-1 grāmatvedības gadā.
Modelis bez inflācijas.
Sākumā aplūkosim modeli cij = xipj.
Var tikt aplūkotas dažādas parametru novērtēšanas metodes. Mazāko kvadrātu metode minimizē izteiksmi , kur ij patvaļīgi svari. Tie var būt vienādi ar 1 vai arī mainīties saskaņā ar datu nozīmīgumu, vecumu, uzticamību u.t.t. Summa ir pa visiem trijstūra elementiem; Viena no metodes priekšrocībām ir tāda, ka nav nepieciešams zināt pilnīgu datu trijstūri. Ja gadījumā kādu gadu kompānijas norēķinu politika pēkšņi tiek grozīta, ir iespējams neņemt vērā agrāko informāciju un analizēt trijstūri izslēdzot šīs pirmās diagonāles.
Acīm redzams šīs metodes trūkums ir tāds, ka atrisinājums nav viennozīmīgi noteikts. Ja (xi, pj) ir sistēmas atrisinājums, tad arī
(B>0)
ir sistēmas atrisinājums visiem B>0. Nenoteiktība var tikt novērsta ievedot nosacījumu
,
bet tas nav nepieciešams, kopš mēs interesējamies tikai par reizinājumiem cij = xipj.
Pielīdzinot pirmās kārtas parciālos atvasinājumus pēc xi un pj nullei iegūstam sistēmu
un ,
ko var atrisināt ar secīgām aproksimācijām.
Zīmīgi, ka nosacījuma pievienošana nerada lielu atšķirību novērtēšanas problēmā. Patiešām, minimizējam Lagranža funkciju
saskaņā ar sistēmu
i = 1,…, k
j = 1, …,k
.
Pirmās k izteiksmes reizinot attiecīgi ar xi, …, xj un nākošās k izteiksmes attiecīgi ar p1, …, pk, mēs iegūsim summu
.
Lagranža reizinātājiem rezultātā jābūt vienādiem ar nulli, un līdz ar to iegūstam sistēmu
, , .
Modelis ar konstantu inflāciju.
Šajā modelī mēs pieņemam, ka i+j-1 = i+j-1 un minimizējam
.
Arī šis atrisinājums nav viennozīmīgi noteikts. Ja (xi,pj,) ir atrisinājums, tad arī
ir atrisinājums jebkuriem B>0 un r>0.
Otrais modelis reducējas uz pirmo, ja (xi, pj) ir pirmā modeļa atrisinājums un (xi,pj,=1) ir otrā modeļa atrisinājums. Ja tā nav, tad eksistē tāds (xi’,pj’,’), ka
.
Fiksējam xi’’=xi’’i un pj’’=pj’’j-1 un iegūstam
,
kas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka (xi, pj) ir pirmās problēmas atrisinājums. Praksē ērtāk ir atrast pirmās problēmas atrisinājumu, un tad, izmantojot atrisinājuma neunitātes īpašību, iegūstam otrā modeļa atrisinājumu (xi’=B-1xi, pj’=B-1-(j-1)pj, ).
Tā modelis bez inflācijas ietver sevī modeli ar konstantu inflāciju. Vienas no neunitātes sekām ir tādas, ka modelis mums neļauj iegūt inflācijas novērtējumu. Iegūtās rezerves nav atkarīgas no .
Galvenais modelis.
Galvenais modelis cij = xipji+j-1 uzrāda tādu pat unitātes trūkumu kā iepriekšējie modeļi. Pielīdzinot nullei pirmās kārtas parciālos atvasinājumus no
,
iegūstam sistēmu
, , ,
kuru arī ir iespējams atrisināt ar secīgam aproksimācijām. Liels galvenā modeļa trūkums ir novērtējamo parametru skaits. Ja k = 10, tad 30 parametri jānovērtē no 55 novērojumiem.
Speciālgadījums – atdalīšanas metode
Sekojošā reizinātāju metode, saukta arī par atdalīšanas metodi jeb Teilora metodi, neizmanto Cij trijstūri, bet gan sij = cij/ni formā sij = pji+j-1. Teilors piedāvā sekojošu novērtēšanas tehniku. Lai
, h = 1,…,k
ir diagonāles locekļu summa (tā ir visa kalendārajā gadā h samaksātā summa), un lai
j – tās kolonas locekļu summa.
Tādejādi dk = k(p1 + p2 + … + pk). Pēc definīcijas
. =dk
Tā kā s1k = pkk = k, .
Tad dk-1 = k-1(p1 + p2 + … + pk-1) = k-1(1 – pk).
Tādejādi .
Tad s1k-1 + s2k-1 = pk-1(k-1 + k) = k-1 un .
Soli pa solim iegūstam
h = 1, …, k
j = 1, …, k.
Novērtējumi ir iegūti pragmatiskā ceļā. Tas rāda, ka galvenie nosacījumi tādi kā sij varbūtību sadalījums, sakrīt ar novērtējumiem, kas iegūti ar lielākās paticamības metodi.
Rezervju novērtēšanas problēma ir ļoti nozīmīga arī pārapdrošinātājam, jo var pāriet vairāki gadi, līdz prasība nonāk līdz viņam. Prasības sākotnējais apjoms inflācijas ietekmē, ceļā pie pārapdrošinātāja, var krietni pieaugt. Raugoties no pārapdrošinātāja redzes viedokļa, prasību skaita novērtējums ir tikpat svarīgs kā to summas novērtējums. Tālāk izmantosim sekojošu tabulu
Ar nij apzīmēsim prasību skaitu par i – to notikuma gadu, kas saņemtas j- tajā gadā. Mēs pieņemsim, ka
1. cedējošās kompānijas prasību skaits sakrīt ar Puasona sadalījumu ar parametru (neatkarīgu no i);
2. katras prasības varbūtība tikt pieteiktai negadījuma gadā ir p1, nākošajā gadā p2 un tā tālāk līdz pk k – ajā gadā. Visas prasības ir pieteiktas pēc k gadiem:
(Šis varbūtību sadalījums nav atkarīgs no negadījuma gada)
3. Katrs kalendārais gads (tātad katra tabulas diagonāle) ir saistīts ar prasību summu sadalījumu, kura sadalījuma funkciju var uzrakstīt kā Fh(x), h=1,…,k.
Sekas no šīm hipotēzēm ir tādas, ka katrs trijstūra elements ir Puasona sadalījuma realizācija. Pirmajā kalendārajā gadā pārpalikušo prasību koeficientu aprēķināsim sekojoši
1 = [1-F1(x0)].
Tā kā varbūtība prasībai tikt pieteiktai šajā negadījuma gadā ir p1, tad iepriekšējās tabulas elementam n11 atbilstošais Puasona parametrs ir p11.
Otrajā gadā pārpalikušo prasību skaita parametrs ir
2 = [1-F2(x0)].
Tādēļ parametrs p12 atbilst elementam n21. Atkārtojot šis darbības, soli pa solim iegūsim visu atdalīšanas metodei atbilstošo tabulu.
P[n11,…,n1k,…,nk1p1,…,pk, 1,…,k] = .
Varbūtību funkcija ir vienāda ar
L = LogP[n11,…,n1k,…,nk1p1,…,pk, 1,…,k]=
=
Ievedot nosacījumu
un pielīdzinot nullei Lagranža funkcijas
parciālos atvasinājumus pēc visiem nezināmajiem, iegūstam
… … …
… … …
Pareizināsim šos 2k vienādojumus attiecīgi ar p1, p2, …, pk, -1, -2, …, -k un summēsim tos. Pāri paliek izteiksme
Lagranža reizinātājiem jābūt vienādiem ar nulli. Ievedot apzīmējumus
un
,
reducējam uz sistēmu
k = dk
pkk = k
k-1 – pkk-1 = dk-1
pk-1k-1 + pk-1k = k-1
… … … … … … …
1 – 1p2 – … – 1pk-1 – 1pk = d1
p11 + p12 + … + p1k-1 + p1k = 1,
kuras atrisinājums nodrošina tos pašus novērtējumus, kā ar Teilora paņēmienu iegūtos.
Šis modelis ņem vērā tikai prasību skaitu. Tomēr to var viegli piemērot arī prasību summām. Uzrakstot rij = E(sij), visus iepriekšējos reizinājumus var precīzi atkārtot, ja sij blīvuma funkciju var uzrakstīt kā
(rij > 0).
Iegūstot h (h = 1, …, k) un pj (j = 1, …, k) novērtējumus, mēs varam izskaitļot tabulu . Modeļa ticamības testēšanai salīdzināsim novērojumus sij ar to novērtējumiem (šim nolūkam ir konstruēts tests).
Lai konstruētu sij trijstūri, ir nepieciešams šajā vietā novērtēt nākotnes inflācijas ietekmi, ekstrapolējot h (h > k). To mēs varam izvēlēties apriori vai arī izmantot kādu prognozēšanas metodi. Tā, piemēram, varam prasīt lineāru atkarību, vai arī lietot ekstrapolācijas formulu
h = k + 1, k + 2, …,
kur ikgadējo likmju pieaugumu var iegūt pielietojot novērtējumus , …, . Tas ļauj mums izskaitļot kvadrātisku matricu .
Tad ievedīsim maksājumu summu, kas veikta sākot no k+1 maksājumu gada uz priekšu
.
Šos lielumus var novērtēt sekojoši
un
i = 2,…,k
konstantas inflācijas gadījumā, un
pārējos gadījumos.
Tādejādi
ir Ci/Cik-i+1 novērtējums, un metode noslēdzas tādā pat ceļā kā pakāpeniskās ķēdes metode:
un
.
Piezīme.
Atdalīšanas metode dažreiz uzrāda labākus rezultātus, ja dh un j ir iegūti kā reizinājumi nevis kā summas. Tādā gadījumā to sauc par ģeometriskās atdalīšanas metodi.
ARMA(p,q) modeļi.
Laikrindu analīzē ir sastopams vesels arsenāls “standarta” lineāro modeļu, starp kuriem jau, pirmkārt, būtu jāmin MA(q), AR(p), ARMA(p,q). No vienas puses šo modeļu popularitāte slēpjas to vienkāršībā, no otras tajā, ka jau ar nelielu parametru skaitu tie spēj aproksimēt diezgan plašu stacionāru virkņu klasi.
Viens no svarīgiem statistisko datu empīriskās analīzes mērķiem ir to turpmākās attīstības prognozēšana. Tas, cik šī prognoze būs laba, protams, ir atkarīgs no veiksmīgas modeļa piemeklēšanas.
Šajā ziņā pamācoša ir valūtas maiņas kursa analīze. Tas rāda, ka sākot ar vienkāršiem lineāriem gausa modeļiem, nākas tos pastāvīgi koriģēt, padarīt sarežģītākus, lai beidzot iegūtu tādu modeli, kurš ietvertu tos fenomenus, kas atklājas empīriskajā analīzē.
Slīdošā vidējā modelis MA(q)
Visos tālāk aplūkojamajos modeļos virkni = (n) uzskatīsim par balto troksni. Uzskatīsim to par gadījumu svārstību avotu, kas nosaka aplūkojamo objektu varbūtiski statistisko raksturu. Pieņemsim, ka En = 0, En2 < un Enm = 0, visiem n m. (Laika parametru n ērti uzskatīt par tādu, kurš pieņem vērtības 0, 1,2,…).
Ja vēl pievienojam normalitātes prasību, tad iegūstam normāli sadalītu savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu virkni ar vidējo vērtību 0 un dispersiju n2.
n N(0, n2).
Turpmāk pieņemsim, ka n2 1.
Gadījumprocesu h = (hn) (- < n < ) sauc par q –tās kārtas slīdošā vidējā procesu, ja tas apmierina vienādojumu
hn = – b1n-1 – … -bqn-q -b0n,
kur n spēlē atjauninošās informācijas lomu.
Pārrakstīsim šo vienādojumu formā
.
Aplūkosim virknes h = (hn) varbūtiskos raksturlielumus.
Acīmredzot Ehn = visiem n.
Tātad
Cov(hn,hn+k) = E(hn,hn+k) =
D(hn) = E(hn,hn+0) =
(k) = Corr(hn,hn+k) = , (0 k q)
Redzams, ka ne procesa vidējā vērtība, ne dispersija, ne kovariācija nav atkarīgas no n, līdz ar to esam parādījuši, ka MA(q) process ir stacionārs.
Aplūkosim MA(1) procesu, un pieņemsim, ka tā vidējā vērtība = 0 un b0 = -1.
hn = n – b1n-1.
(0) = 1, (1) = ,
(k) = 0 (k 2)
Ieviesīsim laika nobīdes operatoru L, ko definēsim sekojoši
Lhn = hn-1, attiecīgi Ljhn = hn-j
Izmantojot laika nobīdes operatoru, MA(1) vienādojumu pārrakstīsim sekojošā formā
hn = (1-b1L)n.
Tātad,
n = (1 – b1)-1hn.
Ja < 1, tad L ir lineārs saspiedošs operators, un tam eksistē apgrieztais operators
n = (1 – b1)-1hn =
un
hn = n – .
Pēdējo izteiksmi sauc par MA(1) procesa h = (hn) bezgalīgas kārtas autoregresīvo reprezentāciju. Šāda reprezentācija eksistē tad un tikai tad, ja < 1. Ja MA(1) procesam eksistē bezgalīgas kārtas autoregresīvā reprezentācija, tad to sauc par apgriežamu.
MA(1) procesiem ar parametriem b1 un 1/b1 ir viena un tā pati autokorelāciju funkcija (k), jo
.
Tātad, zinot MA(1) procesa autokorelāciju funkciju, nav iespējams viennozīmīgi noteikt šī procesa parametra vērtību. Bet šis parametrs ir noteikts viennozīmīgi, ja papildus prasām, lai process būtu apgriežams.
Patvaļīgu stacionāru procesu sauc par apgriežamu, ja tam eksistē bezgalīgas kārtas autoregresīvā reprezentācija
hn = .
Izmantojot laika nobīdes operatoru, pārrakstīsim vienādojumu, kuru apmierina MA(q) process.
hn = b(L)n,
kur b(L) ir definēts kā
b(L) = 1 – b1L – b2L2 -… – bqLq.
Polinomu b(L) sauc par slīdošā vidējā raksturīgo polinomu. Pēc šī polinoma var noteikt gan procesa kārtu gan parametrus.
Uzskatot, ka L ir mainīgais, kas var pieņemt kompleksas vērtības, varam aplūkot vienādojumu
1 – b1L – b2L2 -… – bqLq = 0,
kuru sauc par slīdošā vidējā raksturīgo vienādojumu.
Izrādās, ka no šī vienādojuma sakņu īpašībām varam secināt, vai atbilstošais slīdošā vidējā process ir vai nav apgriežams. MA(1) procesa raksturīgā vienādojuma
1 – b1L = 0
sakne ir 1/b1. Atceramies, ka MA(1) process ir apgriežams tad un tikai tad, ja < 1. Tātad varam teikt arī, ka MA(1) process ir apgriežams tad un tikai tad, ja tā raksturīgā vienādojuma sakne pēc moduļa ir lielāka par 1.
Izrādās, ka augstākas kārtas slīdošā vidējā procesiem ir spēkā šāds pēdējā apgalvojuma vispārinājums:
MA(q) ar parametriem b1, b2, …, bq ir apgriežams tad un tikai tad, ja atbilstošā raksturīgā vienādojuma visas saknes ir ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa.
Autoregresīvais modelis AR(p)
Stacionāru procesu h = (hn) sauc par pirmās kārtas autoregresīvo procesu ar parametru a, ja tas apmierina vienādojumu
hn = ahn-1 + n (1).
Šeit pieņemsim, ka Ehn = 0 visiem n, En = 0, Dn= 2.
Lietojot šo vienādojumu rekursīvi, iegūstam
hn = a(ahn-2 + n-1) + n = a2hn-2 + an-1 + n = aNhn-N + .
Šajā izteiksmē izdarām robežpāreju, kad N . Ja aNhn-N 0, kad N , tad konverģē, un iegūstam, ka
hn = (2).
Atzīmēsim, ka šeit jāapskata gadījumlielumu virkņu konverģence. Atceroties, ka visiem n dispersijas Dhn ir vienādas, var parādīt, ka pieprasītā konverģence vidējā kvadrātiskā nozīmē ir spēkā tad un tikai tad, ja < 1.
Vienādojumu (2) sauc par AR(1) procesa hn bezgalīgo slīdošā vidējā reprezentāciju.
Izmantojot (2), atradīsim AR(1) procesa varbūtiskos raksturlielumus.
Cov(hnhh+k) = E(hnhh+k) =
Dhn =
(k) = ak
No šīm izteiksmēm ir redzams, ka AR(1) process ar < 1 ir stacionārs.
Ja gadījumprocess h = (hn) apmierina vienādojumu ar > 1, tad tas nevar būt stacionārs, jo
Dhn = D(ahn-1+n) = a2Dhn-1 + Dn > Dhn-1
Tātad esam parādījuši, ka AR(1) process ir korekti definēts ar vienādojumu (1) tad un tikai tad, ja < 1. Un process, kas apmierina vienādojumu (1), ir stacionārs tad un tikai tad, ja tam eksistē bezgalīgā slīdošā vidējā reprezentācija (2).
Par p – tās kārtas autoregresīvo AR(p) procesu sauc stacionāru procesu h = (hn), kas apmierina vienādojumu
hn = , (3)
kur = (n) ir baltais troksnis, a1, …, ap reāli skaitļi, pie kam ap 0.
Tā pat kā AR(1) procesa gadījumā, arī šī definīcija ne visām parametru a1, …, ap vērtībām ir korekta, t.i., ne visām parametru vērtībām eksistē stacionārs process, kas apmierina vienādojumu (3).
Polinomu a(L),
a(L) = 1 – a1L –a2L2 – … – apLp,
sauc par autoregresīvo raksturīgo polinomu, bet vienādojumu
1 – a1L –a2L2 – … – apLp = 0,
sauc par autoregresīvo raksturīgo vienādojumu.
Lietojot raksturīgo polinomu un laika nobīdes operatoru, izteiksmi (3) var pārrakstīt kā
a(L)hn = n
Var pierādīt, ka autoregresīvais process ir korekti definēts tad un tikai tad, ja tam eksistē bezgalīgā slīdošā vidējā reprezentācija.
Var arī pierādīt, ka stacionārs process, kas apmierina vienādojumu (3) eksistē tad un tikai tad, ja visas autoregresīvā raksturīgā vienādojuma saknes atrodas stingri ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa.
Jauktie autoregresīvie slīdošā vidējā procesi ARMA(p,q).
Stacionāru procesu h = (hn) sauc par jaukto (p,q) – kārtas autoregresīvo slīdošā vidējā ARMA(p,q) procesu, ja tas apmierina vienādojumu
hn – = , (1)
kur procesa vidējā vērtība, = (n) ir baltais troksnis, parametri a1, …, ap un b1, …, bq reāli skaitļi, bet ap 0 un bq 0.
Šo izteiksmi var pārrakstīt kā
hn = ,
kur konstante
c = .
Cits veids, kā var pierakstīt ARMA(p,q) modeļa vienādojumu ir
a(L)(hn – ) = b(L)n,
kur a(L) ir autoregresīvais raksturīgais polinoms, bet b(L) ir slīdošā vidējā raksturīgais polinoms.
Turpmāk uzskatīsim, ka šiem raksturīgajiem polinomiem nav kopīgu dalītāju, jo citādi abus polinomus pēdējā vienādojumā var izdalīt ar šo kopīgo dalītāju un iegūt vienādojumu, kas ir ekvivalents šim vienādojumam, bet jaunajiem raksturīgajiem polinomiem nav kopīgu dalītāju.
Atzīmēsim, ka ARMA(p,0) AR(p) un ARMA(0,q) MA(q)
ARMA(p,q) process ir korekti definēts tad un tikai tad, ja visas autoregresīvā raksturīgā vienādojuma a(L) = 0 saknes atrodas stingri ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa. Tādā gadījumā process ir apgriežams tad un tikai tad, ja slīdošā vidējā raksturīgā vienādojuma b(L) = 0 saknes arī atrodas stingri ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa.
Pierādīsim, ka šis apgalvojums ir spēkā ARMA(1,1) procesiem ar vidējo vērtību 0, t.i. kad gadījumprocess h = (hn) apmierina vienādojumu
hn = ahn-1 + n – bn-1 (2)
vai citā pierakstā
(1 – aL)hn = (1 – bL)n. (3)
Atzīmēsim, ka a b, jo citādi vienādojums (3) ir ekvivalents vienādojumam hn=n, t.i., process h = (hn) ir baltais troksnis.
Vispirms parādīsim, ka ARMA(1,1) process ir korekti definēts, tad un tikai tad, ja <1.
Ja <1, tad no vienādojuma (3) seko, ka
hn = (1 – aL)-1(1 – bL)n = (1 – bL) = n +
Tātad ir iegūta gadījumprocesa h = (hn) bezgalīgā slīdošā vidējā reprezentācija, kurai
,
jo <1. Bet tad process ir stacionārs, kā pierādīts iepriekš.
Ja process apmierina izteiksmi (2) ar 1, tad var pierādīt, ka
Dhn > Dhn-1
Tātad h = (hn) nav stacionārs process. Līdz ar to apgalvojums, ka ARMA(1,1) process ir korekti definēts, tad un tikai tad, ja <1, ir pierādīts.
Tagad parādīsim, ka ARMA(1,1) process ir apgriežams, tad un tikai tad, ja <1.
Pieņemsim, ka šim procesam eksistē bezgalīgā autoregresīvā reprezentācija
hn = (4)
No šīs un līdzīgas hn-1 reprezentācijas izsakām n un n-1, un, ievietojot tos vienādojumā (2), iegūstam, ka
hn = ahn-1 +hn – .
Izdarot elementārus pārveidojumus, redzam, ka
(a – b)hn-1 –
Pielīdzinot nullei koeficientus pie hn-k (k 1), iegūstam, ka 1 = a – b un k bk-1 (k2).
No tā izriet, ka
k = (a – b)bk-1 (k 1)
Tātad izteiksmē (4) summa konverģē tad un tikai tad, ja <1. Līdz ar to nosacījums par ARMA(1,1) procesa apgriežamību ir pierādīts.
Tagad atradīsim ARMA(1,1) procesa autokovariāciju un autokorelāciju funkcijas. To var darīt, lietojot tā bezgalīgo slīdošā vidējā reprezentāciju.
Dhn = Cov(hn,hn) = 2
= ,
bet, ja k 1, tad
Cov(hn,hn+k) = 2 2[ak-1(a – b) + (a – b)2
= 2ak-1(a-b) .
Tātad
Corr(hn,hn+k) = (k 1)
Programmu pakete WINRATS.
WINRATS ir spēcīga programma profesionālai statistiskai analīzei. Tā dod iespēju pētīt kā lineāros (ARIMA), tā arī nelineāros (ARCH, GARCH) modeļus. Paketē ir iekļauti daudz dažādi statistiskie testi, kā arī ir plašas grafiskās iespējas. Šajā nodaļā pieminēsim tikai dažus operatorus un komandas, kas mums būs nepieciešamas ARIMA modeļu atrašanai.
Operators calendar uzdod novērojumu skaitu gadā, aplūkojamo datu pirmā ieraksta gadu un periodu.
calendar gads periods frekvence
kur: gads gads, kas atbilst pirmajam ierakstam datu kopā
periods periods, kas atbilst pirmajam ierakstam datu kopā
frekvence novērojumu skaits gadā
Komanda allocate uzdod aplūkojamo datu pēdējā ieraksta gadu un periodu.
allocate gads : periods
kur: gads gads, kas atbilst pēdējam ierakstam datu kopā
periods periods, kas atbilst pēdējam ierakstam datu kopā
Operatorus open un data lieto kopā. open pēc norādītā ceļa un faila nosaukuma atver datu failu. data apraksta aplūkojamo datu raksturu.
open data ceļš
data(format = *, org =**)
kur: * datu formāts
** datu raksturs
Operators boxjenk novērtē ARMA modeli.
boxjenk(opcijas) depvar start end residuals
kur: depvar atkarīgais mainīgais
start end novērtējumā izmantojamais datu apgabals. Pēc noklusēšanas tas ir maksimāli pieejamais.
residuals datu sērijas nosaukums, kas tiek saukts par rezidiju. To var izlaist, ja nav vajadzības saglabāt. Tomēr rezidijs ir noteikti jāsaglabā, ja ir jāveic prognozēšana.
Galvenās opcijas.
constant jānorāda ja ir jāaplūko konstante
diffs= regulāro diferenču skaits. [pēc noklusēšanas = 0]
ar= autoregresīvā procesa kārta. [pēc noklusēšanas = 0]
ma= slīdošā vidējā procesa kārta. [pēc noklusēšanas = 0]
define ja ir vēlēšanās vēlāk izmantot prognozēšanas operatoru forecast, ir jāpiešķir izteiksmei numurs vai nosaukums.
Operators forecast veido dinamisko prognozi iepriekš definētam vienādojumam.
forecast(print) skaits soļi sākums
# vienādojums prognoze
kur: skaits vienādojumu skaits sistēmā
soļi veicamo prognožu skaits
sākums datums, ar kuru jāsāk prognozēšana
vienādojums iepriekš definētās izteiksmes nosaukums
prognoze datu kopas nosaukums, kurā jāsaglabā prognoze. Šo var arī izlaist.
Tikko aplūkotie operatori un komandas ir tie, kurus vēlāk izmantosim ARMA modeļu noteikšanai. Bet tā ir tikai niecīga daļa no šis paketes iespējām.
ARMA(p,q) modeļu izmantošana rezervju aprēķinos.
Iepazīstoties ar iepriekš aplūkotajām metodēm rezervju aprēķināšanai, rodas vēlēšanās kaut ko mainīt. Negadījumi, kas ir apdrošināšanas objekti, acīm redzot ir ar varbūtisku raksturu. Tajā skaitā arī ceļu satiksmes negadījumi. Iepriekš aplūkotajās metodēs gandrīz nemaz nav lietoti paņēmieni no statistikas, varbūtību teorijas vai kādas līdzīgas nozares.
Kā labs līdzeklis turpmāko izmaksu prognozēšanai, šķiet ARMA(p,q) modeļu pielietošana. Atcerēsimies, turpmāk izmantojamo izmaksu trijstūri:
Mūsu mērķis ir aizpildīt tabulas tukšās rūtiņas, t.i., jāprognozē izmaksu attīstība. Padomāsim, kurš modelis varētu būt piemērots. Tā kā pēdējā rindiņā ir zināms tikai viens elements, tad tas liek pievērsties modeļiem AR(1), MA(1) un ARMA(1,1), jo citi ARMA(p,q) modeļi prognožu veikšanai pieprasa zināt vairāk kā vienu iepriekšējo vērtību. Tā kā MA(1) modelis mums ļauj veikt prognozi tikai vienu soli uz priekšu, bet mums ir nepieciešams aizpildīt visu tabulu, tad arī MA(1) modeli neapskatīsim.
Pirmajā rindiņā ir visvairāk zināmo vērtību, līdz ar to ir cerības tieši šai rindiņai modeli piemeklēt visprecīzāk. Skaidrs arīdzan tas, ka pēdējās rindiņās zināmo vērtību būs par maz, lai varētu piemeklēt modeli.
Rodas dabiska vēlēšanās pirmajai rindiņai atrasto modeli pielietot visām pārējām rindiņām.
Aplūkosim parasto regresijas vienādojumu
,
kur b ir regresijas koeficients, ir y vidējā vērtība, ir x vidējā vērtība.
Pieņemsim, ka mūsu rīcībā ir novērojumi:
X = (x1, x2, …, xn)
Y = (y1, y2, …, yn),
tad
, (1)
kur
.
Aplūkosim statistiku regresijas koeficientam:
, (2)
kur = E(b).
t tn-2 (Stjūdenta sadalījums ar n-2 brīvības pakāpēm).
Atgriezīsimies pie AR(1) modeļa un izmaksu trijstūra. Autoregresīvais vienādojums
hn = ahn-1 + n
pēc būtības ir regresijas vienādojums. a ir regresijas koeficients pašam ar sevi.
Ņemsim
X = (c11, c12, … ,c1k)
Y =( c12, c13, … ,c1k, c1k+1).
Līdz ar to
,
kur
.
Tātad, izmantojot mūsu rīcībā esošo trijstūri un formulu (1), mēs varam aprēķināt katrai(patiesībā tikai tām, kurās ir pietiekami daudz zināmo elementu) trijstūra rindiņai regresijas koeficientu bi, i = 1, …, k.
Tālāk, izmantojot statistiku t, varam atrast koeficientam b1 ticamības intervālu
p(b(1) < b1 < b(2)) = 0.95
Ja pārējās bi vērtības pieder šim intervālam, tad varam pirmajai rindiņai piemeklēto autoregresīvo modeli pielietot pārējām rindiņām.
Tā kā regresijas koeficientus mēs varējām atrast tikai pirmajām n rindiņām (n izvēlamies pēc pašu ieskatiem) un, ja šie regresijas koeficienti pieder b1 ticamības intervālam, tad vienkārši pieņemam, ka tas ir spēkā arī pārējiem k-n regresijas koeficientiem.
Piemērs.
Dots izmaksu trijstūris
Vispirms aprēķināsim rezerves ar AR(1) un ARMA(1,1) modeļiem.
Atradīsim interesējošos lielumus pirmajai rindiņai
45549288 34111668 b1 = 0.748896
Atradīsim regresijas koeficientam b(1) ticamības intervālu. Izmantosim statistiku t.
No Stjūdenta sadalījuma ar 5 brīvības pakāpēm tabulām nolasām t1.
t1 = 2.6
Pierakstu ērtības labad no (2) aprēķināsim sekojošu koeficientu
-2.6 < 3.7(0.75 – ) < 2.6
-0.77 < 0.75 - <0.77
-1.52 < - < 0.02
-0.02 < < 1.52
Esam atraduši ticamības intervālu koeficientam b1 (-0.02; 1.52). Aprēķināsim pārējos koeficientus bi
50732016 5452937 b2= 0.698828
30370442 20159965 b3= 0.663802
9890426 5538960 b4= 0.560033
1042201 -1076376 b5= -1.03279
Redzam, ka b2, b3, b4 (-0.02; 1.52), bet b5 (-0.02; 1.52). Paskatoties izmaksu trijstūrī, redzams, ka 5. rindiņa satur tikai trīs zināmus elementus. Līdz ar to varam uzskatīt, ka katras rindiņas regresijas koeficients pieder pirmās rindiņas regresijas koeficienta ticamības intervālam un varam visām rindiņām lietot vienu un to pašu autoregresīvo modeli.
AR(1) un ARMA(1,1) modeļu piemeklēšanai izmantosim datorprogrammu paketi WINRATS.
Ar paketes palīdzību atrodam, ka mūsu datiem piemērots ir pirmās kārtas autoregresīvais modelis ar koeficientu 0.7553856714
ht=0.7553856714ht-1 +t
CALENDAR 1982 1 1
ALLOCATE 1988 1
open data c:my documentsmansdiplomspiemers.rat
data(format=rats,org=obs) 1982:1 1988:1 izmaksas
boxjenk(define=eq,iterations=20,ar=1) izmaksas / resids
Dependent Variable IZMAKSAS – Estimation by Box-Jenkins
Iterations Taken 2
Annual Data From 1983:01 To 1988:01
Usable Observations 6 Degrees of Freedom 5
Centered R**2 0.974082 R Bar **2 0.974082
Uncentered R**2 0.993674 T x R**2 5.962
Mean of Dependent Variable 9270.1666667
Std Error of Dependent Variable 5770.1905139
Standard Error of Estimate 928.9477090
Sum of Squared Residuals 4314719.2305
Durbin-Watson Statistic 1.240508
Q(1-1) 0.115869
Significance Level of Q 0.00000000
Variable Coeff Std Error T-Stat Signif
****************************************************************
1. AR{1} 0.7553856714 0.0269535944 28.02542 0.00000108
Izmantojot tikko atrasto modeli, veiksim izmaksu prognozi un aizpildīsim izmaksu trijstūra tukšās rūtiņas.
Saskaitot visus tumšajā drukā esošos elementus, iegūstam meklētās rezerves
= 162017
Līdzīgā veidā atradīsim ARMA(1,1) modeli un aizpildīsim izmaksu trijstūri.
boxjenk(define=eq,iterations=20,ar=1,ma=1) izmaksas / resids
Dependent Variable IZMAKSAS – Estimation by Box-Jenkins
Iterations Taken 6
Annual Data From 1983:01 To 1988:01
Usable Observations 6 Degrees of Freedom 4
Centered R**2 0.975122 R Bar **2 0.968903
Uncentered R**2 0.993928 T x R**2 5.964
Mean of Dependent Variable 9270.1666667
Std Error of Dependent Variable 5770.1905139
Standard Error of Estimate 1017.5431549
Sum of Squared Residuals 4141576.2886
Durbin-Watson Statistic 1.650859
Q(1-2) 0.052509
Significance Level of Q 0.00000000
Variable Coeff Std Error T-Stat Signif
****************************************************************
1. AR{1} 0.7548514569 0.0343515059 21.97433 0.00002538
2. MA{1} 0.2329260187 0.5474183569 0.42550 0.69236701
Modelis, ko piemeklējām ar paketes WinRATS palīdzību, ir sekojošs
ht = 0.7548514569*ht-1 t+ 0.2329260187*t-1
un, veicot prognozēšanu, iegūstam sekojošu tabulu
= 173376
Pakāpeniskās ķēdes metode
Šeit izmantosim kumulatīvās izmaksas Cij
Reizinātāju metode.
Izvēlamies sākotnējās pj vērtības
.
Šī iterāciju virkne konverģē pietiekami ātri. Jau piektās iterācijas rezultāti sakrīt ar ceturtās iterācijas rezultātiem.
Atzīmēsim, ka
Aizpildīsim izmaksu trijstūri ar vērtībām cij = xipj
Beigu beigās aprēķināsim rezerves
78224+4148 =82374
81287+2482.5+4528.3 =88297.7
66402+3518.2+2138.8+3901.4 =75960.4
62347+6035.5+3547.3+2156.5+3933.7 =78020.1
62833+12635.6+7263.9+4269.3+2595.5… =94331.7
33568+12334.4+9370.1+5386.7+3166.0… =69260.7
11346+10795.6+8138.2+6182.4+3554.1… =45691.6
Atdalīšanas metode.
Šī metode izmanto sij = cij/ni trijstūri, kur ni ir par i – to gadu pieteikto prasību skaits.
n1 = 41774 n2 = 40072 n3 = 33209 n4 = 30169
n5 = 32281 n6 = 21801 n7 = 15609
Izmantosim sekojošu sij tabulu
d1 = s11 = 0.5411
d2 = s12 + s21 = 0.9683
d3 = s13 + s22 + s31 = 1.4950
d4 = s14 + s23 + s32 + s41 = 1.8146
d5 = s15 + s24 + s33 + s42 + s51 = 2.0998
d6 = s16 + s25 + s34 + s43 + s52 + s61 = 2.4460
d7 = s17 + s26 + s35 + s44 + s53 + s62 + s71 = 2.8154
7 = s17 = 0.0544
6 = s16 + s26 = 0.1925
5 = s15 + s25 + s35 = 0.5068
4 = s14 + s24 + s34 + s44 = 1.2322
3 = s13 + s23 + s33 + s43 + s53 = 2.1255
2 = s12 + s22 + s32 + s42 + s52 + s61 = 3.5871
1 = s11 + s21 + s31 + s41 + s51 + s61 + s71 = 4.4818
Aplūkojot vērtības, redzam, ka tā pieaug, pieaugot i vērtībām. Šis pieaugums šķiet lineārs. Atrodam regresijas vienādojumu:
= 0.1698i + 1.4834.
No šī vienādojuma atrodam novērtējumus
Tos izmantosim, lai izskaitļotu
Aprēķināsim sekojošus lielumus
Apkoposim ar visām metodēm iegūtos rezultātus
PĶM 4148 6873 9426 15871 32135 35660 34231 138345
RM 4148 7011 9558 15673 31499 35693 34346 137927
AM 5280 7357 8983 14560 29049 32175 31044 128448
AR(1) 4148 4258 10516 24900 46420 41655 30120 162017
ARMA(1,1) 4148 4043 9979 26273 48200 41400 39332 173376
NOBEIGUMS
Esam piecos dažādos veidos novērtējuši rezerves, strādājot ar vieniem un tiem pašiem izejas datiem. Visus iegūtos rezultātus varam uzskatīt par pietiekoši tuviem, tomēr redzams, ka savstarpēji tuvāki rezultāti ir metodēm, kuras arī strādā līdzīgi, t.i., AR(1) un ARMA(1,1) modeļiem un attiecīgi pārējiem trīs modeļiem.
Nevienu no šīm metodēm nevar nosaukt par vislabāko visos gadījumos. Aktuāram katrā situācijā ir rūpīgi jāizvērtē viņa rīcībā esošā informācija un tikai tad jālemj, kuru metodi izvēlēties. Kā sākumā jau minējām, tad var būt dažādi apsvērumi, pēc kuriem vadoties izvēlēties pieeju. Mūsu aplūkotajā piemērā AR(1) modelis varētu būt piemērots piesardzīgākai kompānijai.
Latvijā apdrošināšanas kompānijas ir ļoti jaunas. Tām trūkst gan pieredzes gan speciālistu, lai savu darbību balstītu uz korektiem matemātiskiem aprēķiniem. Lielākoties notiek ārzemju prakses tieša pārņemšana, īpaši neiedziļinoties vietējās situācijas analīzē. (Ārvalstu kompāniju meitas uzņēmumos situācija ir atšķirīga.) Bieži vien ārzemēs lietotos modeļus nevar pārņemt tikai tāpēc, ka savā neilgajā darbības laikā vietējie apdrošinātāji nav paguvuši savākt pietiekami plašu un smalku nepieciešamo informāciju (vai arī vispār nav aizdomājušies, ka tādi dati būtu jāsavāc). Protams, virkne modeļu vienkārši nedarbojas Latvijas apstākļos.
Skaidrs ir viens – darba šajā interesantajā jomā vēl ir gaužām daudz, tāpēc atliek tikai mācīties, analizēt un darīt.
IZMANTOTĀ LITERATŪRA
1. Abakuks Andris, Neimanis Viesturs Laikrindu analīze. – Latvijas Universitāte, Rīga 1992.
2. Ibhztd F.Y. Jcyjds cnj[fcnbxtcrjq abyfycjdjq vfntvfnbrb -“AFPBC” Vjcrdf 1998, ukfdf 2.
3. Lemaire Jean Automobile insurance – Kluwer – Nijhaft Publishing, Boston 1996, 21. nodaļa.
4. Foundations of casualty Actuarial Science – R&S Financial Printing, 1990, 4. nodaļa.