Sakarības starp lielumiem.
Savstarpēji sakarīgi lielumi.
Priekšmetu vai parādību īpašības, kuras var izmērīt un izteikt skaitliski, sauc par lielumiem. Lielumi ir, piemēram, masa, laukums, tilpums, garums (attālums), laiks (tā ilgums) temperatūra, preces vērtība, koku skaits parkā u.c.
Lielumu izmērot, iegūst tā skaitlisko vērtību. Piemēram masa var būt 35kg, 1g, 5t u.c.
Ir lielumi, kas ir savā starpā saistīti tā, ka viena lieluma skaitliskās vērtības izmaiņa izsauc arī kāda otra lieluma izmaiņu. Tādus lielumus sauc par savstarpēji sakarīgiem lielumiem un saka, ka starp tiem pastāv kāda sakarība. Tā piemēram, mainot trijustūra vienas malas garumu, mainās arī trijstūra perimetrs, bet trijstūra leņķa summa nemainās – tā paliek konstanta (nemainīga), t.i., 180o.
Aplūkosim vel vienu savstarpēji sakarīgu lielumu pāri.
Ja piemēram zēns brauc ar velisopēdu 12 km/h un ātrums ir konstants, tad kustības ātrums ir savstarpēji sakarīgi lielumi. Piešķirot kustības laikam brīvi izvēlētas vērtības 20 min., 1 h, 2 h, 50 min. utt., tām atbilst veiktā attāluma stingri noteiktas vērtības 24 km, 6 km, 15 km 18 km u.t.t. (Pārbaudi aprēķinu pareizību)
Savstarpēji sakarīgus mainīgos lielumus īsi mēdz saukt par mainīgajiem pievienojot vārdu lielums. To mainīgo, kuram piešķir brīvi izvēlētas vērtības, sauc par neatkarīgo mainīgo. Pēdējā piemērā par neatkarīgu mainīgo izvēlējāmies kustības laiku. Tad veiktais attālums ir no kustības laika atkarīgais mainīgais. Taču varētu kustības laika un veiktā attāluma sakarību aplūkot arī otrādi – piešķirt attālumam brīvi izraudzītas skaitliskās vērtības, piemēram, 24 km, 6 km, 15 km, 18 km/h utt., un jautāt, cik ilgs laiks nepiciešams šādu attālumu veikšanai. Tad veicamais attālums būtu neatkarīgais mainīgais, bet kustības laiks – no veicamā attāluma atkarīgais mainīgais. Visai spilgtas savstarpēji sakarīgu mainīgo piemērs ir arī algebriskās izteiksmes vērtības, kas ir šajā izteiksmē. Tā piemēram, izteiksmes P(x)=-x2 vērtība ir atkarīga no burta x vērtības: katrai burta x vērtībai atbilst noteikta izteiksmes vērtība – mainot burta x vērtību, vispār mainās arī izteiksmes vērtība. Piemēram: P(1)=3, P(-1) =-5; P(0,5)=I,75 u.t.t.
1.1.
Izpildi šos piemērus:
8+x= 30u:5= (u+u)+45=
15:u-30= (-58+u):3u= 14u2+35:5=
1.2.
Autosportists sacensībās nobrauca 60 km. Viņš trasē brauca ar ātrumu 120 km/h un brauca tikai x min. Nosaki aptuveni laiku cik ilgi tas braucis trasi, ja viņš ar savu mašīnu avarēja tikai vienu reizi. Liec aptuvenu laika vērtību, kad tas avarēja
1.3.
Aprēķini x.
x-3,5=6 90.x=270 x:5,5=1
25:x=5 2,5.x=6,5 56.x=2520
1.4.
Liec svītriņu vietā aptuvenu vērtību.
Ja parastā spainī ir l ūdens un ja sieviete izlēja pusi tā, tad palika l ūdens.
1.5.
Ievelc krustiņu četrstūrītī kura atbilde tev liekas pareiza.1
Pieņemsim ka puika brauc no mājām uz veikalu pēc maizes. Viņš bija plānojis atbraukt līdz veikalam 7 minūtēs. ar vienmērīgu ātrumu un, tad viņš apstājas pie luksafora un nostāv pie tā apmēram minūti, tad viņš uzņem lielāku ātrumu un ar to vislaik brauc līdz veikalam. Vai puika atbrauca ātrāk nekā bija ieplānots vai tieši kā to bija plānojis?
Tas atbrauca ātrāk. 0 Viņš atbrauca kā bija plānots. 0
1.6.
Aprēķini:
(2u+8u2).5u=
25u.(u-5u)=
(-8) .(-25+3u)=
(78:2.3)2=
55+(-8)=
58u.(-2u)=
Sakarību izteikšana.
Pētot dažādus lielumus, mūs interesē ne tikai tas, starp kuriem diviem lielumiem pastāv kāda sakarība, bet jo vairāk tas kāda ir šī sakarība, t.i., kā viens mainīgais ietekmē otru, kā noteikt viena mainīgā dotajai vērtībai atbilstošo otrā mainīgā vērtību. Šajā nolūkā var izmantot dažādus sakarību izteikšanas paņēmienus.
Piemērs. Katliņā ir 4 litri ūdens. To vienmērīgi sildot, tā daudzums ik stundu par 0.6 l samazinās (iztvaiko). Starp sildīšanas laiku un katliņā atlikušā ūdens daudzuma tātad pastāv kāda sakarība. Šo sakarību izteiksim trijos veidos.
1. Ja vārišanas laiku (stundās) apzīmē ar burtu t un katliņā atlikušā ūdens daudzumu (litros) ar a, tad sakarību starp t un a var izteikt ar formulu a=4-0,6t. Lai akcentētu, ka a vērtība ir atkarīga no t vērtības, mēdz arī rakstīt: a(t)=4-0,6t.
2. Ja mūs interesē atlikušā ūdens daudzums tikai dažos noteiktos laikos, tad sakarību starp vārīšanas laiku t (stundās) un atlikušo ūdens daudzumu a (litros)var izteikt arī tabulā , piem.:
t(h) 0 1 1,5 3 5 6
a(l) 4 3,4 3,1 2,2 1 0,4
Pārbaudi vai tabulā ir kļūdas!
3. Visuzskatamāk sakarību starp mainīgajiem var izteikt grafikā. Šajā nolūkā koordinātu plaknē atzīmējam vairākus punktus, kuru abscisas ir mainīgā t vērtības, bet ordinātas ir mainīgā a atbilsošās vērtības.
Sastādītāja tabulā mainīgā t vērtības nav izraudzītas visai tuvu cita aiz citas, bet ar diezgan lieliem “lēcieniem”. Līdz ar to ar “lēcieniem” mainās arī a vērtības, un tāpēc koordinātu plaknē atzīmētie seši punkti ir patālu cits no cita. Ja turpretim izraudzītos mainīgā t vērtības pietiekami tuvu citu aiz citas (piem.: t=0; t=0,1; t=0,2; t=0,3; …), tad cita aiz citas tuvu sekotu arī mainīgā a vērtības, līdz ar to arī visi atzīmētie punkti blīvētos ciešāk cits pie cita. Un ja tā atzīmētu punktus, kas atbilst katrai t vērtībai, tad izveidotos kāda gluda līnija. Šajā gadījumā tā acīmredzot būtu taisna līnija; to novelkot, iegūstam grafiku.
Salīdzinot visus trīs sakarību izteikšanas dažādos paņēmienus, vispilnīgākais no tiem ir šķiet sakarības izteikšana ar formulu, jo pēc tās var aprēķināt viena mainīgā vērtību.
No grafika par abu mainīgo savstarpējo sakarību var uzzināt vairāk nekā no mainīgo vērtību tabulas. Tā no grafika var tieši nolasīt (kaut gan tikai ar zināmu tuvinājumu), ka pēc 4 stundām katliņā būs atlicis apmēram 1,6 l ūdens, pēc 5,5 stundām – 0,7 l ūdens utt. No grafika var arī nolasīt, ka 2,5 l ūdens katliņā būs pēc apmēram 2,5 stundām, ka katliņš pēc 6,5 stundām būs tukšs u. tml.
Piebildīsim ka ne katru sakarīb un starp mainīgajiem var izteikt ar formulu.
2.1.
Izveido tabulu no šī grafika.
Šis grafiks nosaka cik lielu bremzēšanas ceļu vajag lai varētu apturēt automašīnu.
X(km/h)
Y(m)
2.2.
Izveido formulu no šī grafika.
2.3.
Izdomā teksta uzdevumu pēc šī grafika.
2.4.
Uzraksti savam uzdevumam tabulu.
Y
x
Sakarības y=x un y=-x un to grafiki.
Vienkāršākā sakarība starp diviem mainīgajiem x un y, protams ir sakarība y=x. Tas nozīmē: kādu vērtību pieņem viens no mainīgajiem, tādu pašu pieņem arī otrs. Tāpēc šo sakarību mēdz saukt arī par identisko sakarību. (Skat. tabulā).
x -4 -1 0 3 5,7
y=x -4 -1 0 3 5,7
Šis sakarības grafiks ir taisne, kas dala uz pusēm koordinātu plaknes pirmā un trešā kvadranta leņķus.
I.zīm.
Sakarība y=-x abu mainīgo vērtības ir savstarpēji pretēji skaitļi. Ja piemēram, x=4, tad y=-4; ja x=-5, tad y=5utt.(Skat. tab)
X -4 -1 0 3 5,7
y=-x 4 1 0 -3 -5,7
Sakarības y=-x grafiks ir taisne, kas dala uz pusēm koordinātu plaknes otrā un ceturtā kvadranta leņķus. (Skat. 1.zīm.)
Ja gadījumā zināms, ka dotās sakarības grafiks Ir taisne (kā, piemēram, sakarības y=x vai y=-x), tad sakarības grafika zīmēšania pietiek noteikt tikai divus punktus un pēc tam caur šiem punktiem gar lineālu vilkt taisni. (Lai taisni varētu novilkt precīzāk, ieteicams izvēlēti šos punktus ne pārāktuvu vienu pie otra , turklāt kontroles nolūkā aprēķināt arī vēl trešā punkta koordinātas.
3.1.
Uzraksti ar vienādību šādus apgalvojumus par skaitļiem, kas apzīmēti ar burtiem:
1. x ir par 2 lielāks nekā y
2. b ir par 4 mazāks nekā p
3. t ir par 3reizēm lielāks nekā k
4. c ir par 1 reizi mazāks nekā a
5. j ir par 8 mazāks nekā m
6. r ir par 2 lielāks nekā n
7. i ir par 5 mazāks nekā d
8. l ir par 2 reizēm mazāks nekā h
3.2.
Kuri no dotajiem punktiem pieder pie taisnes y=-x: A (3; 3); B (-5; -5); C (2; -4); D (4; -2) E (0; -5)
3.3.
Atzīmē šādus punktus koordinatu plaknē.
x 6 5 -3 2
y=-x -6 -5 3 -2