26.De Brojī formula. Viļņu funkcija un tās statistiskā jēga. Šrēdlingera vispārējais vienādomjums.Fraņču fiziķis L. de Broji izteica hipotēzi, kuru pēc tam apstiprināja eksperimenti, ka divējādas īpašības piemīt ne tikai elektromagnētiskajam starojumam, bet arī vielas daļiņām, un viļņu – korpuskulu duālisms ir vispārīga matērijas īpašība. Tātad arī daļiņām ar miera masu m(o), ātrumu v, relatīvistisko masu m=m(o)*(1-v^2/c^2)^(1/2), enerģiju W=mc^2 un impulsu K=mv piemīt viļņu īpašības un daļiņu viļņu parametrus var noteikt pēc tām pašām sakarībam, kuras darīgas fotoniem. Tad ar daļiņu kustību ir saistīta frekvence v=W/h=mc^2/h un viļņa garums Lambda=h/K=h/(mv). Aizvietojot viļņa garumu ar viļņa vektoru k=2Pi/lambda, sakarību , kuru sauc par de Broji formulu, vr uzrakstīt vektoriālā formā: k->=K->/(h/), kur h/=h/(2Pi).Jo lielāka daļiņas miera masa m(o) un kinētiskā enerģija Wk, jo maqzāks ir tās de Brojī viļņa garums Lambda. Kaut gan viļņu īpašības principā piemīt visiem ķermeņiem, tomēr novērot parādības, kurās izpaužas daļiņu viļņu īpašības, var tikai mikropasaulē.Kvantu mehānikā mikrodaļiņas aprakstam lieto viļņu funckiju. Vienai daļiņai normēšanas nosacījums ir šāds: int | |/ |^2dV=1. Statistisku de Broji viļņu interpretāciju 1926.gadā deva m.Borns.Tā ir analoga gaismas viļņu īpašību izskaidrojumam gaismas kvantu teorijā, saskaņā ar kuru fotoni difrakcijas un interferencijas processā nezudē savu individualitāti. Fotoni tikai sadalās telpā tā, ka maksimumu vietās nonāk vairāk fotonu nekā minimuma vietās,t.i., fotonu atrašanās varbūtība kādā vietā ir lielāka, ja lielāka šajā telpas puinktā ir gaismas intensitāte, gaismas viļņu amplitūdas kvadrāts. Saskaņā ar Borna interpretaciju fizikāla jega ir tikai de Brojī viļņu amplitūdas kavdratam – tas nosaka varbūtību atrast daļiņu noteiktā punktā, precīzāk, tilpuma vienība šā punkta tuvumā. Daudzu daļiņu gadījumā tās, piemēram, difrakcijas procesā statiski sadalās tā, k daļiņu blīvuma sadalījums ir līdzīgs gaismas intensitātes sadalījumam, ja gaismas viļņa garums vienāds ar daļiņu de Brojī viļņa garumu. Klasiskajā mehānikā daļiņas kustības kinemātikas vienādojums x=x(t);y=y(t);z=z(t) var iegūt, atrisinot Ņūtona kustības diferenciālvienadojumus, kuti ir klas meh pamatvienādojumi un tiek posulēti..Mikrodaļiņu jebkurā laika momentā apraksta viļņu funkcija |/(x,y,z,t). Lai šo funkciju iegūtu arī nepieciešams pietiekami visparīgs vienādojums. Šadu vienādojumu deva 1926.gadā E. Šrēdingers. Nestacionārais Šrēdingera vienādojums (I*h/*d’|/)/d’t= – ( (h/^)2/2m(o))*delta|/+W(p)* *|/ю
27.Stacionārie stāvokļi un Šrēdingera vienādojums stacionāriem stāvokļiem.Stacionāru spēku laukā, kad daļiņas potenciālā enerģija W(p) nav tieši atkarīga no laika, sagaidāms, ka arī daļiņas atrašanas varbūtības sadalījums telpā nav tieši atkarīgs no laika. Šim stacionārajam varbūtības sadalījumam atbilstošo viļņu funkciju var sadalīt divos reizinātājos, no kuriem viens ir atkarīgs tikai no koordinātām, bet otrs – tikai no laika, pie tam pēdējo var uzrakstīt tādā pašā formā kā de Brojī viļņiem, |/(x,y,z,t)=|/(mal)(x,y,z)*exp(-I*W*t/h/). Šeit |/(mal)(x,y,z) – stacionarā viļņu funckija; W – daļiņas pilnā enerģija.Ievietojot izteiksmi pagajušājā vinādojumā, iegūst vienādojumu
-(h/)^2/2*m(o)*delta|/(mal)+ W(p)* |/(mal)=W*|/(mal), kuru atrisinot var noteikt stacionaro viļņu funkciju. Šo vienādojumu sauc par stacionāro Šrēdingera vienādojumu.Daļiņas pilnā enerģija W ir stacionārā Šrēdingera vienādojuma parametrs. Tās enerģijas vērtības, kurām iespējami tādi šī vienādojuma atrisinājumi, kas apmierina standartnosacījumus, sauc par īpašvērtības, bet atrisinājumus – par īpašfunkcījām.
28.Daļiņa viendimensijas bezgalīgi dziļā taisnstūra bedrē. Daļiņas impulsa un enerģijas kvantēšanās. Brīvas daļiņas viļņu funkcija ir de Brojī skrejviļņa vienādojums. Attiecībā uz daļiņu, kas atrodas spēku laukā, Šrēdingera vienādojuma atrisināsana parasti ir visai sarežģīts uzdevums.Šeit apskatīsim visvienkāršāko gadījumu – daļiņas viendimensijas kustību (pa X asi), kas ierobežota galīgā intervālā 0<x<l. Ja daļiņa nonak punktā x=0 vai x=l, uz to darbojas bezgalīgi lieli spēki, kas vērsti uz intervāla iekšieni. Tas nozīmē, ka šajos punktos daļiņas potenciālā enerģija bezgalīgi strauji un neierobežoti pieaug. Tādēļ saka, ka daļiņa atrodas bezgalīgi dziļā viendimensijas taisnstūra potenciālajā bedrē (31.5 att a). pieņemsim, ka bedres iekšienē daļiņa ir brīva un intervālā 0<x<l (bukva “L”) potenciālā enerģija W(p)=0, bet ārpus bedres (x<=0;x>=l) potenciālā enerģija W(p)=bezg. Un daļiņa nekad tur nevar nokļūt. Tādēļ ārpus bedres viļņu funkcija |/(mal)=0. Lai noteiktu |/(mal) intervalā 0<x<L, jāatrisina stacionarais Šrēdingera vienādojums. Apzīmējot 2*m(o)*W/(h/)^2 ar k^2, d^2|/(mal)/dx^2+k^2*|/(mal)=0. Tā atrisinājums visparīgā veidā |/(mal)(x)=Asin(kx)+Bcos(kx), kur A un B – patvaļīgas konstantes. Šī funckija |/(mal) ir galīga, viennozīmīga un kvadratiski integrējama. Nepartrauktības dēļ tai jākļūst vienādai ar nulli punktos x=0 un x=L. Pirmais nosacījums |/(mal)(0)=0 dod 0=0*A+B jeb B=0. No otrā izriet ka atrisinājums ir fizikāli labs, jak=n*Pi/L, kur n=1;2;3. Derīgajām k vērtībam atbilst diskrēts enerģijas spektrs W(n)=((h/)^2*k^2)/(2*m(o)), Tā kā n<>0, arī minimalā energijas vertība W(min)<>0. Tas ir raksturīgi mikrodaļiņām arī citos gadījumos, jo nenoteiktības principa dēļ mikrodaļiņai , kura atrodas ierobežotā telpas apgabalā, impulss un reizē arī kinētiskā enerģija nevar būt vienāda ar nulli. Piemēram, pat absolūtās nulles temperatūrā atomi atrodas kustībā. Lai noteiktu konstanti A, izmantosim normēšanas nosacijumu int [no –bezg. Lidz +bezg.] (||/(mal)(x)|^2*dx=1. Tādēļ meklētās ipāsfunkcijas |/(mal)(x)=(2/L)^(1/2)*sin(n*Pi*x/L).Makrobedrē ne tikai makrodaļiņai, bet arī elektronam deltaW un W(1) ir tik mazi lielumi, ka enerģijas kvantēšanu un minimālās enerģijas atšķirību no nulles nav iespējams konstatēt.Kvantu mehānikas rezultāti atšķiras no klasiskās mehānikas rezultātiem tikai mikropasaulē, ja kvantu skaitļi nav ļoti lieli. Kvantu skaitlim palielinoties (n->bezgal.), notiek pakāpeniska pāreja no kvantu mehanikas likumiem uz klasiskajiem likumiem.
29.Ūdeņraža atoma kvantu mehāniskā teorija. Kvantu skaitļi. delta|/(mal)+(2*m(o)/(h/)^2)*(W+(Ze^2/4*Pi*eps(o)*r))* |/(mal)=0. Šrēdingera stacionārais vienādojums.Atomā elektrona pilnā enerģija W ir negatīva.Šrēdingera vienādojumam ir atrisinājumi, kuri apmierina standartnosacījumus, tikai diskrētām negatīvām enerģijas W vērtībām: W= -((m(o)*e^4)/(32*Pi^2*eps(o)^2*(h/)^2))*(Z^2/n^2) n=1;2;3… n – galvenais kvantu skaitlis, l- orbitālais kvantu skaitlis, m- magnetiskais kvantu skaitlis. Orb. Kv. Skaitlis L nosaka L(o)=h/*(l(l+1))^(1/2). Magnetiskais kvantu skaitlis m nosaka : L(oz)=L(o)*cos (alfa)=m*(h/).Varbūtības blivuma radiāla sadalījuma maksimums ir attālumā r, kas vienāds ar prmās Bora orbitas rādiusu.Arī kvantu mehānikā iegūstam atāda pati sakarība: p(mo)=(e/2*m(e))*L(o)=p(mb)*(L(L+1))^(!/2), p(mb)=(e*(h/))/(2*m(e))=0.92741*10(-23) J/T – Bora magnetons. P(mo)/L(o)=e/(2*m(e)) ir elektrona orbitālā žiromagnētiskā attiecība.
30. Šterna un Gerlaha eksperimenti. Elektornu spins.
Šterns un Gerlahs izdarīja eksperimentus, lai noteiktu atomu magnētiskos momentus. Vienā no šiem eksperimentiem perpendikulāri nehomogēnam megnētiskajam laukam, kas vērsts Z ass virzienā tika laists sudraba atomu kūlis. Šāds lauks orientē atomu magnētiskos momentus noteiktos leņķos attiecībā pret magnētiskā lauka virzienu (Z asi), veic telpisko kvantēšanu. Nehomogēnā magnētiskajā laukā uz magnētisko momentu lauka virzienā darbojas spēks F(z), kas izraisa atomu kūļa nolieci. Sudraba atomam, tāpat kā citiem pirmās grupas elementu atomiem, ir viens valences elektrons, kurš nosaka atoma orbitālo impulsa momentu. Atoma potenciālā enerģija magnētisko dipolu, nosaka sakarība F(z)=-d’W(p)/d’z. Tādēļ spēks F(z)=-m*p(mB)*d’B/d’z.
Elektronam vēl ir spins L(s) un ar to saistītais spina magnētiskais moments p(ms) vektori. Spinam L(s) atbilst spina megnētiskais moments p(ms), kurš ir vērsts pretēji L(s
), bet tā projekcijas p(msz), kā tika Šterna un Gerlaha ekperimentos ir +-p(mB). Tādēļ elektrona spina žiromagnētiskā attiecība p(ms)/L(s)=p(msz)/L(sz)=e/m. p(ms)=-(e/m(E)*L(s), p(ms) modulis ir šāds: p(ms)=(e/m(e)*(G/)*(S*(S+1))^(1/2)=3^(1/2)*p(mB). Elektrona tāvokli ūdeņraža atomā nosaka četri kvantu skaitļi n, l,m u m(S). Ja neņem vērā spinorbitālo mijiedarbību, elektrona enerģiju undeņraž atomā nosaka tikai galvenais kvantu skaitlis n.Stāvokļiem ar noteiktu galveno kvantu skaitli n ir deģenerēts, un par deģenerācijas kārtu sauc to stāvokļu skaitu, kuriem atbilst vienāda enerģija. Enerģijas līmenņa deģenerācijas kārta 2n^2.